3.1 SISTEMAS DE 1ER. ORDEN
Considere
el sistema de primer orden. Física mente, este sistema representa un circuito
RC, un sistema térmico o algo similar. La figura presenta un diagrama de
bloques simplificado. La relación entrada-salida se obtiene mediante:
En
lo sucesivo, analizaremos las respuestas del sistema a entradas tales como la
función escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario. Se supone que las
condiciones iniciales son cero. Observe que todos los sistemas que tienen la
misma función de transferencia exhibirán la misma salida en respuesta a la
misma entrada. Para cualquier sistema físico dado, la respuesta matemática
recibe una interpretación física.Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden. Dado que la
transformada deLaplace de la función escalón unitario es l/s, sustituyendo
R(s) = 1/s obtenemos:
Si
tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuación obtenemos
La
ecuación anterior plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se
vuelve unitaria. Una característica importante de tal curva de respuesta
exponencial c(t) es que, para t = T, el valor de c(t) es 0.632, o que la
respuesta c(t) alcanzó 63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad
sustituyendo t = T en c(t). Es decir,
Observe
que, conforme más pequeña es la constante de tiempo T, más rápida es la
respuesta del sistema. Otra característica importante de la curva de respuesta
exponencial es que la pendiente de la línea de tangente en t = 0 es 1/T, dado
que
La
respuesta alcanzaría el valor final en t = T si mantuviera su velocidad de
respuesta inicial. A partir de la ecuación anterior vemos que la pendiente de
la curva de respuesta c(t) disminuye en forma monotónica de 1/ T en t = 0
La
curva de respuesta exponencial c(t) ) aparece en la figura anterior. En una
constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del
valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza 86.5% del valor
final. En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95,98.2 y 99.3%, respectivamente,
del valor final. Por tanto, para t =4T, la respuesta permanece dentro del 2%
del valor final. El estado estable se alcanza matemáticamente sólo después de
un tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica, una estimación razonable del
tiempo de respuesta es la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta
para alcanzar la línea de 2% del valor final, o cuatro constantes de
tiempo.
Respuesta
rampa unitaria de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace
de la función rampa unitaria es 1/s 2, obtenemos la salida del sistema como:
Tomando
la transformada inversa de Laplace, obtenemos:
De
este modo, la señal de error e(t) es:
Conforme
t tiende a infinito, e -t/T se aproxima a cero y, por tanto, la señal de error e(t)
se aproxima a To
La
entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la figura. El
error después de la entrada rampa unitaria es igual a T para una t
suficientemente grande. Entre más pequeña es la constante de tiempo T, más
pequeño es el error en estado estable después de la entrada rampa.
Respuesta
impulso unitario de sistemas de primer orden. Para la entrada impulso unitario,
R(s) = 1 y la salida del sistema es:
o bien
donde
k y τ son la ganancia del sistema y la constante de tiempo respectiva- mente.
La ecuación (4.1) está graficada en la figura 4.2
Constante de tiempo
La
amplitud y duración de la respuesta transitoria deben mantenerse dentro de
límites tolerables definidos.
En
sistemas de control lineales la caracterización del transitorio comúnmente se
realiza utilizando un escalón unitario a la entrada.
Especificaciones
en el dominio del tiempo
Sobreimpulso
máximo:
Tiempo de retardo td
Tiempo para que la respuesta alcance el 50% de su valor
final.
Tiempo de levantamiento tr.
Tiempo para que la respuesta se eleve de un 10% a un 90% de
su valor final.
Medida alternativa: reciproco de la pendiente de la respuesta
al escalón en td.
Tiempo de asentamiento ts
Tiempo para que la respuesta se mantenga dentro de una banda
determinada. Frecuentemente se utiliza ±5%.
3.1.2
RESPUESTA A LA RAMPA
La respuesta de un sistema de primer orden representado por
su función de transferencia
cuando t →∞,e − t τ → 0, y la señal de error e(t) se aproxima
a τ, es decir e(∞)=τ
El error entre la señal de entrada y la señal de salida ante
una rampa unitaria en un instante de tiempo suficientemente grande t es igual a
la constante de tiempo τ. Entre más pequeña sea la constante de tiempo, el
error de seguimiento es menor.
La
función de transferencia de un sistema de segundo orden se expresa como:
El
comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe a continuación
en términos de dos parámetros ξ y wn. El
valor de ξ toma diferentes valores dependiendo de su ubicación en el plano s.
El semiplano izquierdo del plano s corresponde
a un amortiguamiento positivo (ξ>0), esto causa que la respuesta escalón
unitario establezca un valor final constante en el estado estable debido al
exponente negativo (-ξw nt). Por lo tanto el sistema es estable. El semiplano derecho del plano s corresponde
a un amortiguamiento negativo (ξ<0). El amortiguamiento negativo da una
respuesta que crece en magnitud sin límite de tiempo, por lo tanto el sistema
es inestable. El eje imaginario
corresponde a un amortiguamiento de cero (ξ=0).
Este resulta en una amortiguación sostenida, y
el sistema es marginalmente estable o marginalmente inestable Si 0 < ξ <
1,
los polos en lazo cerrado son complejos
conjugados y se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. El sistema,
entonces se denomina subamortiguado y la respuesta transitoria es
oscilatoria.
Si ξ
= 1 , el sistema se denomina críticamente amortiguado .
Los
sistemas sobreamortiguados corresponden a ξ > 1 . La respuesta transitoria de los sistemas
críticamente amortiguados y sobreamortiguados no oscila. Si ξ = 0, la respuesta
transitoria no se amortigua.
Ahora
obtendremos la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario.
Consideraremos tres casos diferentes:
(1)
Caso subamortiguado (0 < ξ < 1): en este caso,
C(s)/R(s) se escribe como
(2)
Caso críticamente amortiguado (ξ = 1): si los dos polos de C(s)/R(s) son casi
iguales, el sistema se aproxima mediante uno críticamente amortiguado. Los
polos se encuentran ubicados en:
(3)Caso
sobreamortiguado (ξ > 1): en este caso, los dos polos de C(s)/R(s) son
reales negativos y diferentes.
En resumen se tiene lo siguiente:
La
siguiente figura contiene una familia de curvas c(t) con diversos valores de ξ,
en donde la abscisa es la variable adimensional wt.Las curvas solo son
funciones de ξ.
3.2.1 Clasificación
Control
proporcional
Acción
del control proporcional-p
La
señal de control generada por el controlador es proporcional a la desviación
que representa la salida respecto de la referencia.
Características
de la Acción de Control Proporcional
ü Mejora
la dinámica del sistema
ü Mejora
la precisión del sistema: pero no desaparece el error estacionario
ü Aumento
de la inestabilidad relativa
ü Aparición
de saturaciones
Control proporcional en sistemas de
primer orden
Control proporcional en sistemas de segundo orden
Es
frecuente caracterizar los sistemas subamortiguados mediante la respuesta a la
señal escalón. Existen diversas relaciones entre los distintos valores que
alcanza la respuesta y los parámetros que definen el sistema. De este modo,
sobre una respuesta subamortiguada típica, ver Figura.-1.18, es posible definir el valor del sobreimpulso
o sobreelongación máxima M, el tiempo de subida Ts, el tiempo de pico Tp y el tiempo de
establecimiento Te.
Las
expresiones que relacionan estos valores con los parámetros del sistema son:
Tiempo de Subida:
Sobreimpulso
máximo o sobreelongación:
El
tiempo de establecimiento representa el tiempo que necesita el sistema para que
la diferencia entre el valor de la señal y el valor límite en estado
estacionario difieran un porcentaje determinado. Por ello se definen dos
tiempos de establecimiento: Te5 cuando la señal está a menos de un 5% del valor
final; Te2 cuando está a menos de un 2%. Igualmente suele definirse un término
similar para sistemas críticamente
amortiguados, cuya expresión es:
Tiempo
de establecimiento amortiguación crítica al 5%:
Tiempo
de establecimiento amortiguación crítica al 2%:
Sistema de orden superior (SOS)
queda descrito por función de transferencia
con zi y pj ceros
y polos en general complejos
La respuesta escalón de amplitud A será
Caso 1: Polos en general
distintos
Aplicando la L-1
La
contribución de cada polo pi en la respuesta transitoria depende la
magnitud del residuo Ki y de su colocación relativa
La
contribución de K0 es relativa al régimen estacionario.
La
contribución de cada polo pi en la respuesta transitoria depende la
magnitud del residuo Ki y de su colocación relativa
La
contribución de K0 es relativa al régimen estacionario.
Si Ki
es bajo, su contribución es despreciable, y si Re (pi) <0con |Re
(pi) |alto entonces su contribución en el transitorio es despreciable.
Caso 2: Polos en general
múltiples
La respuesta escalón de
amplitud A será
Se
sigue el mismo razonamiento que el caso anterior en cuanto a la contribución de
cada polo.
Concepto
de dominancia: Los polos más cercanos al eje imaginario jω prevalecen, y se
denominan polos dominantes.
De
esta forma es posible transformar un SOS en un SPO (un unicopolo dominante) o
en un SSO (un par de polos dominantes).
Criterio
de dominancia: Relación Re (pi)/Re (pd)> 5, suponiendo que no hay
ceros en cercanía de pd (efecto cancelación).
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