EJEMPLOS DE MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS MECÁNICOS.

EJEMPLOS DE MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS MECÁNICOS.

·         Sistema mecánico.

Ejemplo 1.

La figura 3-35(a) muestra un diagrama esquemático de un sistema de suspensión de un automóvil. Conforme el automóvil avanza por un camino, los desplazamientos verticales de las llantas funcionan como una excitación de movimiento para el sistema de suspensión del automóvil. El movimiento de este sistema consiste en un desplazamiento traslacional del centro de la masa y un desplazamiento de rotación alrededor del centro de la masa. El modelado matemático del sistema completo es muy complicado.

Una versión muy simplificada del sistema de suspensión aparece en la figura 3-35(b). Suponiendo que el movimiento x_i en el punto P es la entrada al sistema y el movimiento vertical x₀ del cuerpo es la salida, obtenga la función de transferencia X₀(s)/Xi(s). (Considere el movimiento del cuerpo sólo en la dirección vertical.) El desplazamiento x₀ se mide a partir de la posición de equilibrio en ausencia de la entrada x_i.

Solución. La ecuación de movimiento para el sistema de la figura 3-35(b) es

o bien:

Tomando la transformada de Laplace de esta última ecuación, y suponiendo condiciones iniciales de cero, obtenemos

Por tanto, la función de transferencia Xo(S)/Xi(s) se obtiene mediante

Ejemplo 2.

Obtenga la función de transferencia del sistema mecánico que aparece en la figura 3-40(a). Asimismo, calcule la funci6n de transferencia del circuito eléctrico de la figura W(b). Demuestre que las funciones de transferencia de los dos sistemas tienen una forma idéntica y, por tanto, son sistemas análogos

Solución. Las ecuaciones de movimiento para el sistema mecánico de la figura 3-40(a) son

Tomando la transformada de Laplace de estas dos ecuaciones y suponiendo condiciones iníciales de cero, tenemos

Si eliminamos Y(s) de las dos últimas ecuaciones, obtenemos

o bien:

Por tanto, la función de transferencia X₀(s)/X_i(s) se obtiene como

Para el sistema eléctrico de la figura 3-40(b), la función de transferencia E₀(s)/E_i(s) resulta ser

Una comparación de las funciones de transferencia demuestra que los sistemas de la figura 3-40(a) y (b) son análogos.

·         Sistema eléctrico.

Ejemplo 3

Considere el circuito eléctrico que aparece en la figura 3-37. Obtenga la función de transferencia E₀ (s)/E_i(s) usando el enfoque de diagrama de bloques.

Solución. Las ecuaciones para los circuitos son

La transformada de Laplace de las ecuaciones (3-90), (3-91) y (3-92), con condiciones iniciales de cero, producen

La ecuación (3-93) se puede reescribir como

La ecuación (3-96) da el diagrama de bloques que aparece en la figura 3-38(a). La ecuación  (3-94) se modifica a

La ecuación (3-97) da el diagrama de bloques que se muestra en la figura 3-38(b). Asimismo, la ecuación (3-95) nos da el diagrama de bloques que se muestra en la figura 3 38(c). Combinando los diagramas de bloques de las figuras 3-38(a), (b) y (c), obtenemos la figura 3-39(a). Este diagrama de bloques se modifica sucesivamente tal como se aprecia en las figuras de la 3-39(b) a (f). Por tanto, obtuvimos la función de transferencia E₀(s)/E_i(s) del sistema. [Ésta es igual a la que se obtuvo antes para el mismo circuito eléctrico. Véase ecuación (3-66).]

Ejemplo 4

Considere el sistema del termómetro delgado de mercurio con paredes de vidrio de la figura 3-46. Suponga que el termómetro está a una temperatura estable  (temperatura ambiente) y que en t = 0 se sumerge en un baño a una temperatura ,  en donde    es la temperatura del baño (que puede ser constante o cambiante), medida a partir de la temperatura ambiente  Defina la temperatura instantánea del termómetro mediante , de modo que sea el cambio en la temperatura del termómetro que satisfaga la condición de que . Obtenga un modelo matemático para el sistema. Asimismo, determine un sistema eléctrico análogo del sistema del termómetro.

Solución. Se obtiene un modelo matemático para el sistema, considerando el balance del calor del modo siguiente: el calor que entra al termómetro durante dt seg es q dt, en donde q es el flujo de calor hacia el termómetro. Este calor se almacena en la capacitancia térmica C del termómetro, por lo cual su temperatura se eleva mediante d . Por tanto, la ecuación de balance de calor es

Dado que la resistencia térmica R se escribe como

El flujo de calor q se obtiene, en términos de la resistencia térmica R, como

o bien:

La ecuación (3-108) es un modelo matemático del sistema del termómetro. Remitiéndonos a la ecuación (3-108), un sistema eléctrico análogo para el sistema del termómetro se escribe como

Un circuito eléctrico representado mediante esta última ecuación aparece en la figura 3-47.