Unidad 5 ESTABILIDAD
El
número de raíces de en el semiplano derecho es igual al número de cambios de
signo que se suceden en la primera columna del arreglo de Routh de dicho
polinomio.
Determina
la localización de las raíces de un polinomio con coeficientes constantes y
reales con respecto al semiplano derecho o izquierdo de Laplace. Puede ser aplicado a Sistemas SISO, MIMO, y multilazos.
Aplicación:
Dada la FTLC del sistema:
1.
Se toma la ecuación característica del sistema:
2.
Se construye el arreglo de Routh:
Donde:
3.
Se investigan los signos de la primera columna del arreglo.
“Las
raíces de la ecuación característica están todas en el semiplano izquierdo del
plano s Si: todos los elementos de la primera columna tienen el mismo signo. Si
existen cambios de signo, el número de cambios de signo es el número de raíces
con parte real positiva”.
Ejemplo
5.1: Considere la ecuación característica: 1+GH(s)= S3 + S2
+ 2S + 8
Procedemos
a construir el arreglo de Routh: Hay dos cambios de signo; por lo tanto, hay
dos polos en el semiplano derecho. Observe que:
Este
método permite el diseño del AVR y del PSS. Para el diseño del AVR, se analiza la salida del sistema de potencia sin
el lazo de realimentación de Vterm, ni el lazo del PSS. La figura
4.5 nos muestra que la respuesta del tiempo tiende a 0.0747 p.u, lo que implica
un error en régimen permanente del 25% con respecto a la entrada.
El
primer paso es representar el AVR como un controlador proporcional Kv(s)=Kp,
cerrando el lazo de control y aumentado poco a poco el valor de Kp
podemos encontrar el valor de ganancia que hace que el sistema se vuelva
oscilatorio. Este valor es aproximadamente 50, y la respuesta en el dominio del
tiempo se muestra en la figura 4.6,
donde también se puede observar como a pesar de que el sistema se vuelve más
oscilatorio al aumentar Kp, el error permanente se reduce, y el
comportamiento final del sistema tiende a comportarse similar a la tensión
referencia.
La
figura 4.7, muestra el LGR del sistema donde se observa que la ganancia con la
cual el sistema se vuelve inestable (cruza el eje imaginario), es 47.2, que es
un valor muy cercano a 50 mencionado anteriormente.
Con
un controlador proporcional, si aumentamos la ganancia tenemos oscilaciones y
si la disminuimos, aumentamos el error permanente.
Para
evitar esta situación se cambiara el AVR de un Kp a un KPI
(controlador proporcional integral), representado por la función de transferencia:
Donde:
KP=Ganancia
del controlador proporcional.
KI=Ganancia
del controlador integral.
Los
parámetros del controlador se escogen de manera que KP se encuentre
entre un intervalo de 0 a KU, (KU: ganancia donde se
inestabilidad el sistema) en este caso KU= 47.2. El controlador KI
se encuentran entre 0.1 y 10 debido que en este intervalo de valores se logra
obtener un tiempo de retardo menor a 0.5 s (tr = tiempo que dura la señal en
alcanzar el 50% de su valor final), y un sobre paso máximo menor al 10% (MP=
valor máximo de la respuesta que sobre pasa el valor final), debido a que estas
son las especificaciones para los modernos reguladores de tensión de alta
ganancia.[7]
Se
escoge por lo tanto un valor de KP =35 y KI=0.4, el
resultado se puede ver en la figura 4.8, donde las oscilaciones tienden a
amortiguarse y el error permanente se reduce casi totalmente. Con este
controlador se obtiene un tr = 0.446 s y un MP = 12.5%, parámetros
que se verán afectados al final del diseño, ya que el PSS disminuye el tiempo
de respuesta y a la vez proporciona el amortiguamiento necesario para que el
sobrepaso pueda ser reducido y cumpla con las especificaciones.
Una
vez diseñado el regulador se procede a diseñar el PSS, como la entrada al PSS proviene
de la velocidad angular se obtiene la función de transferencia desde la tensión
de referencia, hasta la entrada del PSS, se realiza el análisis del LGR de la función
de transferencia obtenida (ver anexo 1). El resultado se muestra en la figura
4.9, donde se observa como el ángulo de apertura del polo en el semiplano
derecho es de 60º.
Para
proporcionar un adecuado amortiguamiento este ángulo de salida debe ser 180º,
por lo tanto se debe agregar 120º de compensación en el lazo de realimentación
del PSS.
Para
compensar los 120º necesarios se utiliza un filtro de segundo orden de adelanto
de fase de la forma:
Para
encontrar los parámetros del filtro, se hace uso de ecuaciones que nos permitan
encontrar los valores correctos para Kd, α, z, y p. Para averiguar α
se usó la figura 4.10, que es la relación entre el Φm (grados que deben ser
compensados) y el α.
En la figura 4.10 se indica utilizar dos filtros que compensen 60º cada
uno, siendo α igual a 14
Otra
forma de averiguar la ganancia α del filtro es mediante la fórmula [7].
Con
lo que para un ángulo de 60º se obtiene un α=14, que es igual al encontrado mediante
la figura 4.10.
El
valor del cero y el polo del filtro se encuentra haciendo uso de las siguientes
ecuaciones [7]:
Donde
wc es la frecuencia de cruce por cero, igual a 9.33 rad/s y α es la ganancia igual
a 14. Con esto se encuentra que el cero debe ubicarse en s=-2.94 y el polo en s=-34.9.
Falta por determinar el valor de la ganancia Kd que suministre un amortiguamiento
del 15%. Para esto se realiza el LGR de la función de transferencia desde la
tensión de referencia hasta la salida del PSS, y se busca que la ganancia que proporcione
el amortiguamiento deseado. Esta ganancia es aproximadamente 0.762, como se
observa en la figura 4.11.
Por
lo tanto se tiene:
Sustituyendo el controlador proporcional Kd(s), por
el obtenido en la ecuación 4.7, y al cerrar el lazo de realimentación del PSS
se obtiene la figura 4.12, donde se observa como el error permanente tiende a
cero, y como la respuesta se amortigua rápidamente con un sobrepaso máximo de
7.4%, aspectos que cumplen con los parámetros del diseño. Las figuras 4.13 y
4.14 muestran como no solo se mejora la salida Vterm, sino que
también se amortigua adecuadamente las salidas w y Pe.
Resumiremos las
reglas y el procedimiento general para construir los lugares geométricos de las
raíces del sistema de la figura 2.5.3.
Primero,
obtenga la ecuación característica
En
estos análisis suponemos que el parámetro de interés es la ganancia K, en donde
K >0. (Si K < 0, lo cual corresponde al caso de realimentación positiva, bebe
modificarse la condición de ángulo.) Sin embargo observe, que el método todavía
es aplicable a sistemas con parámetros de interés diferentes a la ganancia.
1. Ubique los polos y ceros de G(s) (Hs)
en el plano s. Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces empiezan
en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros (ceros finitos o ceros en
infinito). A partir de la forma factorizada de la función de transferencia en
lazo abierto, ubique los polos y los ceros en lazo abierto en el plano s. [Observe
que los ceros en lazo abierto son los de (Gs) (Hs), en tanto que los ceros en
lazo cerrado son los de (Gs) y los polos de (Hs).
Observe
que los lugares geométricos de las raíces son simétricos con respecto al eje
real del plano s, debido a que los polos y ceros complejos sólo ocurren en
pares conjugados.
Encuentre los puntos inicio y fin de los
lugares geométricos de las raíces y localice también el número de lugares
geométricos de las raíces separados. Los puntos del lugar geométrico que
corresponde a K = 0 son los polos en lazo abierto. Esto se aprecia a partir de
la condición de magnitud, suponiendo que K tiende a cero, o que
Esta última ecuación implica que conforme K
disminuye, el valor des debe tender a uno de los polos en lazo abierto. Por lo
tanto, cada lugar geométrico de las raíces se origina en un polo de la función
de transferencia en lazo abierto (Gs) (Hs). Conforme K tiende a infinito, cada
lugar geométrico tiende al cero de la función de transferencia en lazo abierto
o al infinito del plano complejo. Esto se aprecia del modo siguiente: si
suponemos que K tiende a infinito en la condición de magnitud, entonces:
Por
tanto, el valor de s debe aproximarse a uno de los ceros finitos en lazo
abierto o a un cero en lazo abierto en infinito. [Si se incluyen los ceros en
infinito en la cuenta, (Gs) (Hs) tiene la misma cantidad de ceros que de
polos.]
Una gráfica del lugar geométrico de las raíces
tendrá tantas ramificaciones como raíces tenga la función característica. Dado
que, por lo general, la cantidad de polos en lazo abierto es mayor que la de
ceros, la cantidad de ramificaciones es igual a la de los polos. Si la cantidad
de polos en lazo cerrado es igual a la cantidad de polos en lazo abierto, la
cantidad de ramificaciones individuales del lugar geométrico de las raíces que
terminan en los ceros finitos en lazo abierto será igual a la cantidad m de
ceros en lazo abierto.
Las
n - m ramificaciones restantes terminan en infinito ( n - m ceros implícitos en
infinito ) a lo largo de las asíntotas.
Sí
incluimos los polos y los ceros en infinito, la cantidad de polos en lazo
abierto es igual a la de ceros en lazo abierto. Por tanto, siempre podemos
plantear que los lugares geométricos de las raíces empiezan en los polos de
(Gs) (Hs) y terminan en los ceros de (Gs) (Hs) conforme K aumenta de cero a
infinito, en donde los polos y los ceros incluyen tanto aquéllos finitos y en
infinitos en el plano s.
2.- Determine los lugares geométricos
de las raíces sobre el eje real. Los lugares geométricos de las raíces sobre el
je real se determinan mediante los polos y los ceros en lazo abierto que se
encuentran sobre él. Los polos y los ceros complejos conjugados de la función
de transferencia en lazo abierto no afectan la ubicación de los lugares
geométricos de las raíces sobre el eje real, porque la contribución del ángulo
de un par de polos o ceros complejos conjugados es 360°sobre el eje real. Cada
parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un
rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geométricos
sobre el je real, seleccione un punto en éste. Si la cantidad total de polos y
ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra
en el lugar geométrico de las raíces. El lugar geométrico de las raíces y su
firma complementaria alternan segmentos a lo largo del eje real.
3.- Determine las asíntotas de los
lugares geométricos de las raíces. Si el punto de prueba s se ubica lejos del
origen, se considera que no cambia el ángulo de cada cantidad compleja.
Entonces, un cero en lazo abierto y un polo en lazo abierto cancelan los
efectos del otro. Por tanto, los lugares geométricos de las raíces para valores
de s muy grandes deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos
(pendientes) se obtengan mediante
Ángulos de las asíntotas:
En donde n = número de polos finitos
de (Gs) (Hs)
m = números de ceros finitos de (Gs) (Hs)
Aquí, k = 0 corresponde a las asíntotas con el
ángulo más pequeño con respecto al eje real. Aunque k supone una cantidad
infinita de valores, conforme aumenta, el ángulo se repite así mismo y la
cantidad de asíntotas es n - m.
Todas
las asíntotas interceptan al eje real en un punto que se obtiene del modo
siguiente: si se expanden el numerador y el denominador de la función de transferencia
en lazo abierto, el resultado es
Si
un punto de prueba se localiza lejos del origen, entonces dividiendo el denominador
entre el numerador, podemos escribir (Gs) (Hs) como
Dado que la ecuación característica es
Puede
escribirse como:
Para
un valor grande de s la ecuación anterior se aproxima mediante
Si la abscisa de la intersección de
las asíntotas y el eje real se representa mediante s =σ a , entonces
O bien:
Debido a que todos los polos y ceros
complejos ocurren en pares conjugados, σ a siempre es una cantidad real. Una
vez que se encuentra la intersección de las asíntotas y el eje real, es fácil
dibujar las asíntotas en el plano complejo. Es importante señalar que las
asíntotas muestran el comportamiento de los lugares geométricos de las raíces
para s >> 1. Una ramificación del lugar geométrico de las raíces puede
encontrarse en un lado de la asíntota correspondiente o puede atravesar ésta de
un lado al otro.
4.- Encuentre los puntos de
desprendimiento y de ingreso. Debido a la simetría conjugada de los lugares
geométricos de las raíces, los puntos de desprendimiento y de ingreso se
encuentran sobre el eje real o bien ocurren en pares complejos conjugados.
Si
un lugar geométrico de las raíces se ubica entre dos polos en lazo abierto
adyacentes sobre el eje real, existe al menos un punto de desprendimiento entre
dichos dos polos. Asimismo, si el lugar geométrico de las raíces esta entre dos
ceros adyacentes (un cero puede ubicarse en -∞) sobre el eje real, siempre existe
al menos un punto de ingreso entre los dos ceros. Si el lugar geométrico de las
raíces se ubica entre un polo en lazo abierto y un cero (finito o no finito)
sobre el eje real, puede o no existir puntos de desprendimiento o de ingreso, o
bien pueden existir ambos.
Suponga que la ecuación característica se obtiene mediante
Los
puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso corresponden a las raíces múltiples
de la ecuación característica. Por tanto, los puntos de desprendimiento y de
ingreso se determinan a partir de las raíces de
En
donde la prima indica una diferenciación con respecto a s. Es importante señalar
que los puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso deben ser las raíces
de la ecuación anterior, aunque no todas las raíces de la ecuación anterior se
encuentran en la parte del eje real del lugar geométrico de las raíces, es un punto
de desprendimiento o de ingreso real. Si una raíz real de la ecuación anterior
no está en la parte del eje real del lugar geométrico, esta raíz no corresponde
a un desprendimiento ni a un punto de ingreso. Si dos raíces s = s1 y s = -s1
de la ecuación anterior son un par complejo conjugado y si no es seguro que
están en los lugares geométricos de las raíces, es necesario verificar el valor
de K correspondiente. Si el valor de K que corresponde a la raíz s = s1 de
dK/ds = 0 es positivo, el punto s = s1 es un punto de desprendimiento o de
ingreso real.(Dado que se supone que K es no negativo, si es negativo el valor
obtenido de K el punto s = s1 no es de desprendimiento ni de ingreso.)
5.- Determine el ángulo de salida
(ángulo de llegada) de un ángulo geométrico de las raíces a partir de un polo
complejo (un cero complejo). Para trazar los lugares geométricos de las raíces
con una precisión razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares
geométricos de las raíces cercanas a los polos y ceros complejos. Si se
selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercanía precisa del polo
complejo (o del cero complejo), se considera que no cambia la suma de las
contribuciones angulares de todos los otros polos y ceros. Por tanto, el ángulo
de llegada (o ángulo de salida) del lugar geométrico de las raíces de un polo complejo
(o de un cero complejo), se encuentra restando a 180°la suma de todos los
ángulos de vectores, desde todos los polos y ceros hasta el polo complejo (o cero
complejo) en cuestión, incluyendo los signos apropiados.
Angulo
de salida desde un polo complejo = 180°
-(suma
de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde otros
polos)
+ (Suma de los ángulos de vectores hacia el
polo complejo en cuestión desde los ceros)
Angulo de llegada a un cero complejo = 180°
-(suma de los
ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde otro cero)
+ (Suma de los ángulos de vectores hacia el
cero complejo en cuestión desde los polos)
El ángulo de salida aparece en la figura 2.5.4
6.- Encuentre los puntos en los que
los lugares geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario. Los puntos en
los que los lugares geométricos de las raíces intersectan al eje jω se
encuentran con facilidad por medio de: (a) el criterio de estabilidad de Routh,
o (b) suponiendo que s = jω en la ecuación característica, igualando con cero
la parte real y la parte imaginaria y despejando ω y K. En este caso, los
valores encontrados de ω representan las frecuencias en las cuales los lugares
geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario. El valor de K que
corresponden a cada frecuencia de cruce produce la ganancia en el punto de cruce.
7.- Tomando una serie de puntos de
prueba en la vecindad amplia del origen del plano s, trace los lugares
geométricos. Determine los legares geométricos de las raíces en la vecindad
amplia del eje ω y el origen. La parte más importante de los lugares
geométricos de las raíces no está sobre el eje real ni en las asíntotas, sino en
la parte de la vecindad amplia del eje jω y el origen. La forma de los lugares geométricos
de las raíces en esta región importante del plano s debe obtenerse con
suficiente precisión.
8.- Determine los polos en lazo
cerrado. Un punto específico de cada ramificación del lugar geométrico de las
raíces será un polo en lazo cerrado si el valor de K en dicho punto satisface
la condición de magnitud. Por otra parte, la condición de magnitud nos permite
determinar el valor de la ganancia en K en cualquier ubicación de las raíces
específicas sobre el lugar geométrico. ) si es necesario, se establece una
graduación de los lugares geométricos en términos de K. Los lugares geométricos
de las raíces son continuos con K).
El valor de K
que corresponde a cualquier punto s sobre el lugar geométrico de las raíces se
obtienen a partir de la condición de magnitud, o bien
Este valor debe
calcularse en forma gráfica o analítica.
Si
este problema de la ganancia K de la función de transferencia en lazo abierto,
entonces, aplicando la condición de magnitud encontramos las ubicaciones
correctas de los polos en lazo cerrado para un K determinado de cada ramificación
de los lugares geométrico de las raíces, mediante un enfoque de prueba y error
o mediante MATLAB, lo cual se presentara en la sección 2.5.1.
Configuraciones
comunes de polos y ceros y los correspondientes lugares geométricos de las
raíces. Para concluir
Esta
sección mostramos la tabla 2.5.1, que contiene varias configuraciones de polos
y ceros en lazo abierto y los correspondientes lugares geométricos de las Notas
del Curso de Control I M. C. Jaime Cid Monjaraz 12 raíces. El patrón de los
lugares geométricos de las raíces sólo depende de la separación relativa de los
polos y ceros en lazo abierto. Si el número de polos en lazo abierto excede el
número de ceros finitos en tres o más, existe un valor de la ganancia K más
allá del cual los lugares geométricos de las raíces entran en el semiplano
derecho del plano s y, por lo tanto, el sistema puede volverse inestable.
Un
sistema estable debe tener todos sus polos en lazo cerrado en el semiplano izquierdo
del plano s.
Observe
que, una vez que hemos adquirido cierta experiencia con el método, nos es fácil
evaluar los cambios en los lugares geométricos de las raíces debidos a las
modificaciones en el número y ubicación de los polos y ceros en la lazo abierto
visualizando las gráficas de los lugares geométricos de las raíces que se
producen de las diversas configuraciones de los polos y ceros.
Si
G(s) contiene polos idénticos a cero H(s), al obtener la función de
transferencia de lazo abierto se cancelarán y no se tendrán en cuenta a la hora
de dibujar el lugar de las raíces. Sin embargo ese polo que se ha cancelado es
un polo de la función de transferencia de lazo cerrado del sistema. Por lo
tanto para obtener el total de los polos de lazo cerrado se ha de añadir dicho
polo a los obtenidos mediante el el lugar de las raíces.
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