UNIDAD 4. ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL

4.  ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL

Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia (el valor deseado), determina la desviación y produce una señal de control que reducirá la desviación a cero o a un valor pequeño. La manera en la cual el controlador automático produce la señal de control se denomina acción de control.

En este capítulo analizaremos primero las acciones de control básicas que se usan en los sistemas de control industriales. Después revisaremos los efectos de las acciones de control integral y derivativa en la respuesta del sistema. A continuación consideraremos la respuesta de sistemas de orden superior. Cualquier sistema físico se volverá inestable si alguno de los polos en lazo cerrado se encuentra en el semiplano derecho del plano S. Para verificar la existencia o inexistencia de tales polos en el semiplano derecho del plano, es útil el criterio de estabilidad de Routh. En este capítulo incluiremos un análisis de este criterio de estabilidad.

Muchos controladores automáticos industriales son electrónicos, hidráulicos, neumáticos o alguna combinación de éstos. En este capítulo presentamos los principios de los controladores neumáticos, hidráulicos y electrónicos.

El panorama del capítulo es el siguiente: la sección 5-1 presentó el material de introducción.

La sección 5-2 ofrece las acciones básicas de control que suelen usar los controladores automáticos industriales. La sección 5-3 analiza los efectos de las acciones de control integral y derivativa sobre el desempeño de un sistema. La sección 54 aborda los sistemas de orden superior y la sección 5-5 trata el criterio de estabilidad de Routh. Las secciones 5-6 y 5-7 analizan los controladores neumáticos e hidráulicos, respectivamente. En ellas se presenta el principio de la operación de los controladores neumáticos e hidráulicos y los métodos para generar diversas acciones de control. La sección 5-8 trata los controladores electrónicos que usan los amplificadores operacionales. La sección 5-9 analiza el adelanto de fase y el atraso de fase en la respuesta senoidal. Se obtiene la función de transferencia senoidal y se muestra el adelanto de fase y el atraso de fase que pueden ocurrir en la respuesta senoidal. Por último, en la sección 5-10 tratamos los errores en estado estable en las respuestas de un sistema.

4.1 Acciones de control.

En esta sección analizaremos los detalles de las acciones básicas de control que utilizan los controladores analógicos industriales. Empezaremos con una clasificación de los controladores analógicos industriales.

Casi todos los controladores industriales emplean como fuente de energía la electricidad o un fluido presurizado, tal como el aceite o el aire. Los controladores también pueden clasificarse, de acuerdo con el tipo de energía que utilizan en su operación, como neumáticos, hidráulicos o electrónicos. El tipo de controlador que se use debe decidirse con base en la naturaleza de la planta y las condiciones operacionales, incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo, disponibilidad, confiabilidad, precisión, peso y tamaño.

Controlador automático, actuador y sensor (elemento de medición). La figura

5-1 es un diagrama de bloques de un sistema de control industrial que consiste en un controlador automático, un actuador, una planta y un sensor (elemento de medición). El controlador detecta la señal de error, que por lo general, está en un nivel de potencia muy bajo, y la amplifica a un nivel lo suficientemente alto. La salida de un controlador automático se alimenta a un actuador, tal como un motor 0 una vGula neumáticos, un motor hidráulico, 0 un motor eléctrico. (El actuador es un dispositivo de potencia que produce la entrada para la planta de acuerdo con la señal de control, a fin de que la señal de salida se aproxime a la señal de entrada de referencia.)

El sensor, o elemento de medición, es un dispositivo que convierte la variable de salida en otra variable manejable, tal como un desplazamiento, una presión, o un voltaje, que pueda usarse para comparar la salida con la señal de entrada de referencia. Este elemento está en la trayectoria de realimentación del sistema en lazo cerrado. El punto de ajuste del controlador debe convertirse en una entrada de referencia con las mismas unidades que la señal de realimentación del sensor o del elemento de medición.

Controladores autooperados. En la mayor parte de los controladores automáticos industriales, se usan unidades separadas para el elemento de medición y el actuador. Sin embargo, en algunos muy sencillos, como los controladores autooperados, estos elementos se integran en una unidad. Los controladores autooperados utilizan la potencia desarrollada por el elemento de medición, son muy sencillos y poco costosos. Un ejemplo de un controlador

autooperado aparece en la figura 5-2. El punto de ajuste lo determina la modificación de la fuerza del resorte. El diafragma mide la presión controlada. La señal de error es la fuerza neta que actúa sobre el diafragma. Su posición determina la apertura de la válvula.

La operación del controlador auto operado es la siguiente: suponga que la presión de salida es más baja que la presión de referencia, determinada por el punto de ajuste. Por tanto, la fuerza de tensión hacia abajo es mayor que la fuerza de presión hacia arriba, lo cual produce un movimiento hacia abajo del diafragma. Esto aumenta la velocidad de flujo y eleva la presión de salida. Cuando la fuerza de presión hacia arriba es igual a la fuerza de tensión hacia abajo, el vástago de la válvula permanece estacionario y el de flujo es constante.

Por el contrario, si la presión de salida es más alta que la presión de referencia, la apertura de la válvula se hace más pequeña y reduce el flujo que pasa a través de ella. Los controladores auto operados se usan mucho en el control de la presión del agua y el gas.

4.1.1 ACCIÓN DE DOS POSICIONES.

Acción de control de dos posiciones o de encendido y apagado (on/off). En un sistema de control de dos posiciones, el elemento de actuación ~610 tiene dos posiciones fijas que, en muchos casos, son simplemente encendido y apagado. El control de dos posiciones o de encendido y apagado es relativamente simple y barato, razón por la cual su uso es extendido en sistemas de control tanto industriales como domésticos.

Supongamos que la señal de salida del controlador es u(t) y que la señal de error es e(t). En el control de dos posiciones, la señal u(t) permanece en un valor ya sea máximo o mínimo, dependiendo de si la señal de error es positiva o negativa. De-este modo, en donde UI y UZ son constantes. Por lo general, el valor mínimo de es cero o -UI. Es común que los controladores de dos posiciones sean dispositivos eléctricos, en cuyo caso se usa extensamente una válvula eléctrica operada por solenoides. Los controladores neumáticos proporcionales con ganancias muy altas funcionan como controladores de dos posiciones y, en ocasiones, se denominan controladores neumáticos de dos posiciones.

Las figuras 5-3(a) y (b) muestran los diagramas de bloques para dos controladores de dos posiciones. El rango en el que debe moverse la señal de error antes de que ocurra la conmutación se denomina brecha diferencial. En la figura 5-3(b) se señala una brecha diferencial.

Tal brecha provoca que la salida del controlador u(t) conserve su valor presente hasta que la señal de error se haya desplazado ligeramente más allá de cero. En algunos casos, la brecha diferencial es el resultado de una fricción no intencionada y de un movimiento perdido; sin embargo, con frecuencia se provoca de manera intencional para evitar una operación demasiado frecuente del mecanismo de encendido y apagado.

Considere el sistema de control del nivel de líquido de la figura 5-4(a), en donde se usa la válvula electromagnética de la figura W(b) para controlar el flujo de entrada. Esta válvula está abierta o cerrada. Con este control de dos posiciones, el flujo de entrada del agua es una constante positiva o cero. Como se aprecia en la figura 5-5, la señal de salida se mueve continuamente entre los dos límites requeridos y provoca que el elemento de actuación se mueva de una posición fija a la otra.

Observe que la curva de salida sigue una de las dos curvas exponenciales, una de las cuales corresponde a la curva de llenado y la otra

a la curva de vaciado. Tal oscilación de salida entre dos límites es una respuesta común característica de un sistema bajo un control de dos posiciones.

En la figura 5-5 observamos que, para reducir la amplitud de la oscilación de salida, debe disminuirse la brecha diferencial. Sin embargo, la reducción de la brecha diferencial aumenta la cantidad de conmutaciones de encendido y apagado por minuto y reduce la vida útil del componente. La magnitud de la brecha diferencial debe determinarse a partir de consideraciones tales como la precisión requerida y la vida del componente.

4.1.2 ACCIÓN PROPORCIONAL.

Para un controlador con acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador u(t) y la señal de error e(t) es:

en donde Kp se considera la ganancia proporcional.

Cualquiera que sea el mecanismo real y la forma de la potencia de operación, el controlador proporcional es, en esencia, un amplificador con una ganancia ajustable. En la figura 5-6 se presenta un diagrama de bloques de tal controlador.

4.1.3. ACCIÓN INTEGRAL.

En un controlador con acción de control integral, el valor de la salida del controlador u(t) se cambia a una razón proporcional a la señal de error e(t). Es decir,

Si se duplica el valor de e(t), el valor de u(t) varía dos veces más rápido. Para un error de cero, el valor de u(t) permanece estacionario. En ocasiones, la acción de control integral se denomina control de reajuste (reset). La figura 5-7 muestra un diagrama de bloques de tal controlador.

4.1.4. ACCIÓN DERIVADA

Acción de control Derivativa,

„

No se usa de forma independiente

…

e(t)=cte -> de(t)/dt=0 -> u(t)=0

·         Ley de control PD

Acción  predictiva

…

·         Anticipa el error futuro (no depende sólo  del error sino también de cómo varía éste)

…

·         Mejora el comportamiento (más rápida y menos oscilaciones)

…

·         Amplifica las señales de ruido -> Introducción de filtro

·         Bajas frecuencias

…

Ganancia como un P

…

Fase aprox. igual

„

·         Altas frecuencias

…

Ganancia aumenta a razón de 20 dB/dec

…

Fase sube 90º

4.1.5. ACCIÓN DE CONTROL PROPORCIONAL E INTEGRAL.

 La acción de control de un controlador proporcional-integral (PI) se define mediante

O la función de transferencia del controlador es

en donde K,, es la ganancia proporcional y Ti se denomina tiempo integral. Tanto KP como Ti son ajustables. El tiempo integral ajusta la acción de control integral, mientras que tin cambio en el valor de KP afecta las partes integral y proporcional de la acción de control.

El inverso del tiempo integral Ti se denomina velocidad de reajuste. La velocidad de reajuste es la cantidad de veces por minuto que se duplica la parte proporcional de la acción de control. La velocidad de reajuste se mide en términos de las repeticiones por minuto. La figura 5-8(a) muestra un diagrama de bloques de un controlador proporcional más integral.

Si la señal de error e(t) es una función escalón unitario, como se aprecia en la figura 5-8(b), la salida del controlador u(t) se convierte en lo que se muestra en la figura 54~).

4.1.6. ACCIÓN DE CONTROL PROPORCIONAL Y DERIVADA. 

La acción de control de un controlador proporcional-derivativa (PD) se define mediante

en donde Kp es la ganancia proporcional y Td es una constante denominada tiempo derivativo.

Tanto KP como Td son ajustables. La acción de control derivativa, en ocasiones denominada control de velocidad, ocurre donde la magnitud de la salida del controlador es proporcional a la velocidad de cambio de la señal de error. El tiempo derivativo Td es el intervalo de tiempo durante el cual la acción de la velocidad hace avanzar el efecto de la acción de control proporcional. La figura 5-9(a) muestra un diagrama de bloques de un controlador proporcional-derivativo. Si la señal de error e(t) es una función rampa unitaria como se aprecia en la figura 5-9(b), la salida del controlador u(t) se convierte en la que se muestra en la figura 5-9(c). La acción de control derivativa tiene un carácter de previsión.

Sin embargo, es obvio que una acción de control derivativa nunca prevé una acción que nunca ha ocurrido.

Aunque la acción de control derivativa tiene la ventaja de ser de previsión, tiene las desventajas de que amplifica las señales de ruido y puede provocar un efecto de saturación en el actuador.

Observe que la acción de control derivativa no se usa nunca sola, debido a que  es eficaz durante periodos transitorios.

4.1.7. ACCIÓN DE CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVA.

La combinación de una acción de control proporcional, una acción de control integral y una acción de c6ntrol derivativa se denomina acción de control proporcional-integral-derivativa (PID). Esta acción

combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante

en donde Kp es la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral y Td es el tiempo derivativo.

El diagrama de bloques de un controlador proporcional-integral-derivativo aparece en la figura 5-lo(a). Si e(t) es una función rampa unitaria, como la que se observa en la figura 5-lo(b), la salida del controlador u(t) se convierte en la de la figura 5-lo(c).

Efectos del sensor (elemento de medición) sobre el desempeño del sistema.

Dado que las características dinámica y estática del sensor o del elemento de medición afecta la indicación del valor real de la variable de salida, el sensor cumple una función importante para determinar el desempeño general del sistema de control. Por lo general, el sensor determina la función de transferencia en la trayectoria de realimentación. Si las constantes de tiempo de un sensor son insignificantes en comparación con otras constantes de tiempo del sistema de control, la función de transferencia del sensor simplemente se convierte en una constante. Las figuras 5-ll(a), (b) y (c) muestran diagramas de bloques de controladores automáticos con un sensor de primer orden, un sensor de segundo orden sobreamortiguado y un sensor de segundo orden subamortiguado, respectivamente.

Con frecuencia la respuesta de un sensor térmico es del tipo de segundo orden sobreamortiguado.

4.1.7.1 MÉTODO DE ZIEGLER Y NICHOLS

·         Método experimental para sintonizar P, PI, PID en base a la respuesta temporal

„

·         Se suele conseguir una SO del 25 % (primera aproximación)

„

·         Útiles cuando no se tiene buen modelo de la planta

„

PRIMER METODO: RESPUESTA ANTE ESCALON EN B.A

…La salida se debe asemejar a una respuesta de primer orden de la forma:

SEGUNDO MÉTODO: RESPUESTA ANTE ESCALON EN B.C

…

Anulamos acción integral (Ti=∞) y derivativo (Td=0), aumentando Kp desde O hasta  Kcr, donde la salida presente oscilaciones mantenidas (GANANCIA CRíTICA)

…

Determinamos PERIODO CRÍTICO (Pcr=2π/wcr)

…

En Bode, Kcr=Mg, Pcr=2π/w180)

4.2 CRITERIOS PARA LA SELECCIÓN DE UN CONTROLADOR.

El controlador PID básico combina las acciones proporcional, derivativa e integral mediante el siguiente algoritmo de control:

Como es bien sabido, el término proporcional contribuye a la reducción del error en régimen permanente. Ahora bien, la ganancia requerida para que dicho error se reduzca hasta los niveles deseados con la aplicación de un mero control proporcional puede ser incompatible con las especificaciones de sobreoscilación y estabilidad relativa del sistema. La acción integral tiene un efecto cualitativo sobre el error en régimen permanente, ya que aumenta el tipo del sistema y garantiza la anulación de ´este cuando la referencia es de tipo escalón. El término derivativo permite una cierta predicción del futuro error y por tanto juega un papel anticipativo.

La primera definición en el diseño de un sistema de control PID es la elección del controlador, posteriormente, se ajustarán los parámetros del mismo. A una buena elección de tipo de controlador a emplear (P, PI, PD o PID) ayudan las siguientes consideraciones [8, 7]:

·         Controlador P.

En ciertos tipos de procesos es posible trabajar con una ganancia elevada sin tener ningún problema de estabilidad en el controlador. Muchos procesos que poseen una constante de tiempo dominante o son integradores puros caen en esta categoría. Una alta ganancia en un controlador P significa que el error en estado estacionario será pequeño y no se necesitara incluir la acción integral. Un ejemplo característico en el que no es muy relevante el error en régimen permanente es el bucle interno de un controlador en cascada; el que la variable que se ha tomado como secundaria no alcance su valor no debe preocupar excesivamente.

·         Controlador PD

En líneas generales, el control PD puede ser apropiado cuando el proceso a controlar incorpore ya un integrador. Por ejemplo, un proceso térmico con un buen aislamiento opera de forma análoga a un integrador. Casi toda la energía que se le suministra se emplea en elevar la temperatura del horno ya que las pérdidas son despreciables. Con esta clase de procesos es posible trabajar con ganancias elevadas en el controlador sin que sea necesario introducir la acción integral. La acción derivada es sensible al ruido ya que a altas frecuencias tiene una ganancia relativamente elevada, por lo tanto, en presencia de altos niveles de ruido se debe limitar dicha ganancia, o prescindir de la acción derivativa. Asimismo, en procesos con grandes tiempos muertos la acción anticipativa del término derivativo deja de ser efectiva ya que la aproximación lineal

tan sólo tiene validez para pequeños valores de Td. Debido a los tiempos muertos hay un retardo antes de que los efectos de cualquier acción de control se puedan detectar sobre la variable de proceso. Es, por lo tanto, considerablemente mejor con esta clase de procesos intentar predecir su acción futura analizando la señal de control en combinación con un modelo del proceso. Esto es lo que hace el predictor de smith, que fue estudiado en el tema 10 de la asignatura.

·         Controlador PI

Es la estructura más usual del controlador. La introducción de la acción integral es la forma más simple de eliminar el error en régimen permanente. Otro caso en el que es común utilizar la estructura PI es cuando el desfase que introduce el proceso es moderado (procesos con una constante de tiempo dominante o incluso integradores puros). La acción derivativa más que una mejora en esta situación es un problema ya que amplifica el ruido existente. También se recomienda la acción PI cuando hay retardos en el proceso, ya que como se ha visto en el punto anterior, la acción derivativa no resulta apropiada en este tipo de sistemas. Un tercer caso en el que se debería desconectar la acción derivativa es cuando el proceso está contaminado con niveles de ruido elevados. Como primera medida, se debería filtrar el ruido existente, pero en algunas ocasiones esto no es suficiente.

·         Controlador PID

La acción derivativa suele mejorar el comportamiento del controlador, ya que permite aumentar las acciones proporcional e integral. Se emplea para mejorar el comportamiento de procesos que no poseen grandes retardos pero que si presentan grandes desfases. Este es el caso típico de procesos con múltiples constantes de tiempo.

Se concluye pues que la primera decisión en el diseño de un sistema de control PID es la elección del controlador. A una buena elección de ´este (P, PI, PD o PID), ayudan, además de las anteriores consideraciones, la experiencia que se tenga sobre el proceso a controlar

CRITERIO DE SINTONOMÍA

La sintonía de controladores PID para procesos industriales está basada normalmente en especificaciones nominales sobre determinadas características de la respuesta del sistema en lazo cerrado a cambios bruscos en el punto de consigna o en la carga. También es usual basar el diseño en criterios de optimización sobre la señal de error, tratando de minimizar alguna de las cuatro integrales típicas de la señal de error: la integral del error (IE), la integral del cuadrado del error (ISE), la integral del valor absoluto del error (IAE) y la integral del valor absoluto del error ponderado en el tiempo (ITAE).

Los ´éxitos cosechados por las propuestas de ˚Astrom y Hagglund en 1984 han hecho que actualmente sea m´as habitual encontrar soluciones a la sintonía de los controladores PID para procesos industriales basadas en especificaciones de estabilidad relativa en el dominio frecuencial, es decir, en determinadas características de la respuesta en frecuencia del conjunto (controlador+proceso). Las dos especificaciones tradicionalmente utilizadas han sido el margen de fase y el margen de ganancia.

El criterio de razón de amortiguamiento de 1/4 que fue utilizado por Ziegler y Nichols, previene de grandes desviaciones en el primer pico de la respuesta del sistema cuando se producen cambios en la carga o perturbaciones sobre el sistema, pero trae consigo una sobreoscilación del 50% para cambios bruscos en el punto de consigna, que puede ser excesiva en la mayoría de las aplicaciones (en secciones venideras se abordará cómo mitigar este problema). Existen fórmulas de sintonía que garantizan sobreoscilaciones menores. Tanto la m´axima sobreelongación como la razón de amortiguamiento, que est´an directamente relacionadas, se pueden inspeccionar fácilmente, incluso de forma visual, pues basta con prestar atención a uno o dos puntos de la respuesta del sistema en lazo cerrado. Por lo tanto, es normal que los ingenieros de procesos se encuentren muy familiarizados con ellos y que manifiesten un mayor interés por fórmulas de sintonía que utilicen estos criterios.

No ocurre lo mismo con las integrales de error, que no son tan fáciles de inspeccionar. En cambio, los criterios integrales tienen la ventaja de ser m´as precisos de cara a la sintonía del controlador, pues mientras varias combinaciones de parámetros de control pueden dar lugar a una misma razón de amortiguamiento, sólo una combinación de parámetros minimizará la correspondiente integral.

4.3 CONSTRUCCIÓN DE CONTROLADORES

En este trabajo se presenta el diseño y construcción de un sistema de posicionamiento línea realizado durante los cursos de Control I y Control II de la carrera de Ingeniería Electrónica de la UABC

.

La finalidad de este prototipo es servir como sistema de prueba para distintas técnicas de control automático. Los resultados fueron bastante buenos ya que el sistema ha mostrado ser un buen ejemplo para aplicaciones de las técnicas de control clásico así como control moderno a nivel superior

4.3.1 CONTROLADOR PID ELÉCTRICO.

.3.2 CONTROLADOR PID ELECTRÓNICO.

Esta sección analiza los controladores electrónicos que usan amplificadores operacionales. Empezaremos por obtener las funciones de transferencia de los circuitos con amplificadores operacionales simples. A continuación obtendremos las funciones de transferencia de algunos de los controladores con amplificadores operacionales. Por último, proporcionaremos en una tabla. Los controladores con amplificadores operacionales y sus funciones de transferencia.

Amplificadores operacionales. Los amplificadores operacionales, también conocidos como ampops, se usan con frecuencia para amplificar las señales de los circuitos sensores. Los ampops también se usan con frecuencia en los filtros que sirven para compensación.

La figura 5-43 muestra un amp op. Es una práctica común seleccionar la tierra como 0 volts y medir los voltajes de entrada et y es en relación con ella. La entrada et hacia la terminal negativa del amplificador está invertida y la entrada es hacia la terminal positiva no lo está. Por consiguiente, la entrada total al amplificador se convierte en e2 - el. De este modo, para el circuito de la figura 5-54, tenemos que,

en donde las entradas el y e2 pueden ser señales de cd o ca y K es la ganancia diferencial o la ganancia de voltaje. La magnitud de K es, aproximadamente de 105 - 106 para las sefiales de cd y señales de ca tienen frecuencias menores que unos 10 Hz. (La ganancia diferencial disminuye con la frecuencia de la señal y se estabiliza alrededor de la unidad para frecuencias de 1 Mhz - 50 Mhz.) Observe que el amp op amplifica la diferencia entre los voltajes el y ea. Tal amplificador se denomina amplificador diferencial. Dado que la ganancia del amp op es muy alta, es necesario tener una realimentación negativa de la salida hacia la entrada para hacer estable el amplificador. (La realimentación se lleva a cabo de la salida hacia la entrada inversora para que la realimentación sea negativa.)

En el amp op ideal no fluyen corrientes en las terminales de entrada y el voltaje de salida no se ve afectado por la carga conectada a la terminal de salida. En otras palabras, la impedancia de entrada es infinita y la impedancia de salida es cero. En un amp op real, fluye una corriente muy pequeña (casi insignificante) hacia una terminal de entrada y la salida no se carga demasiado. En el amilisis que se hace aquí, suponemos que los amp ops son ideales.

Amplificador inversor. Considere el amplificador operacional de la figura 5-14.

Obtengamos el voltaje de salida eO.

4.3.3 CONTROLADOR PID MECÁNICO.

Los sistemas mecánicos se componen de elementos que pueden comportarse como masas, amortiguadores o muelles. La ecuación diferencial que rige el comportamiento de una masa es la segunda ley de

Newton:

Donde f es la suma de las fuerzas exteriores aplicadas a la masa y x es su desplazamiento. El parámetro constante m es la propia masa y su unidad fundamental en el SI es el kilogramo, kg. Si el sistema gira en lugar de desplazarse, la ecuación que gobierna su movimiento es:

Donde ¿es la suma de los pares exteriores aplicados al sistema y µ su giro. El parámetro constante J es la inercia del sistema y su unidad es el kg¢m2

.

La fuerza f que restituye un amortiguador cuando se comprime es proporcional a la velocidad con que se aproximan sus extremos. La ecuación diferencial que rige su comportamiento es:

El parámetro c es la constante del amortiguador o viscosidad, y su unidad es el Ns/m. Si una masa se desplaza dentro de un medio viscoso (al aire, el agua, etc.), además de su propia inercia debe vencer una fuerza viscosa proporcional a la velocidad con que se desplaza dicha masa. Este efecto se puede modelizar matemáticamente con un amortiguador cuyos extremos estuvieran anclados uno en el centro de gravedad de la masa y otro en un punto exterior ¯jo del medio. Evidentemente, este efecto no aparece en el vacío o en el espacio exterior, fuera de la atmosfera.

La fuerza f que restituye un muelle o resorte cuando se comprime es proporcional a la distancia x que se han acercado sus extremos desde su longitud natural. Es la llamada ley de Hooke:

La constante k representa la rigidez del muelle y su unidad es el N/m. Para obtener las ecuaciones que representan a los sistemas mecánicos, se a¶³sla cada elemento del sistema, introduciendo las fuerzas de enlace y se aplica la segunda ley de Newton a dicho elemento. A continuación se muestran algunos casos en los que se da una combinación de los tres elementos básicos de un sistema mecánico y las ecuaciones diferenciales que los gobiernan.

También es posible que el sistema pueda modelizarse despreciando la masa de los elementos móviles. Este es el caso del sistema de la Fig. 1.6, regido por la ecuación diferencial (1.7).

En el sistema de la Fig. 1.7 ante una única entrada u existen dos variables temporales de salidas los desplazamientos de las masas x1 y x2. Este sistema puede servir para modelizar el comportamiento del sistema de amortiguación de un vehículo. La masa m2 representa la parte amortiguada del vehículo, mientras que m1 es el conjunto de la rueda y el eje. El desplazamiento de entrada u es el per¯l de la carretera que actúa sobre la rueda a través de la rigidez del neumático k1.

Si lo único que interesa del sistema es el desplazamiento de la masa amortiguada, sin importar cómo se mueva la rueda, habrá eliminar del sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (1.8) la variable x1. El objetivo sería obtener una única ecuación que relacione la entrada u con la variable x2. Esto es difícil de hacer con las ecuaciones diferenciales en el dominio temporal. En el capítulo 2 se muestra cómo conseguirlo de forma sencilla gracias a la transformada de Laplace.