INGENIERIA DE CONTROL CLASICO-ITA: UNIDAD 2 MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS

UNIDAD 2 MODELADO DE SISTEMAS DINÁMICOS

Este tema está dedicado al modelado de sistemas dinámicos. Esto es, a la obtención de un conjunto de ecuaciones matemáticas que describen el comportamiento de un sistema físico. No se estudia el modelado de todos los posibles sistemas físicos; tampoco el modelado pretende ser exhaustivo. La exposición se centra principalmente en el modelado de sistemas lineales, aunque en algún caso se considerarán modelos no lineales.

El modelado de un sistema dinámico consta de tres fases:

· A partir de la utilidad que vaya a tener el modelo decídase qué señales son las de entrada o excitación, las de respuesta o salida, qué variables son internas, y cuáles son los parámetros (constantes) a tener en cuenta. Pueden dibujarse inicialmente bloques (sin ecuaciones matemáticas) que describen la interacción de las variables.

· Escribir las relaciones matemáticas que relacionan las variables de entrada y salida de cada elemento del conjunto.

· Añadir las ecuaciones que ligan unos elementos con otros. Obtener un modelo en espacio de estado o mediante funciones de transferencia del conjunto.

Este proceso se sigue muchas veces de forma inconsciente. Aquellos que están acostumbrados a trabajar, por ejemplo, con circuitos eléctricos pueden escribir directamente las ecuaciones del modelo. En las secciones siguientes se presentan modelos de diversos sistemas físicos. La exposición no abarca todos los modelos dinámicos; no se incluyen, por ejemplo, modelos de población o modelos económicos. Las ecuaciones que resultan del modelado de distintos sistemas tienen, a menudo, la misma forma, lo que hace posible el establecimiento de analogías. En este texto, sin embargo, no se hará un tratamiento amplio de analogías.

2.1 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Una vez que se han definido los diferentes tipos de sistemas, es necesario conocer la dinámica de los mismos a partir de ecuaciones que relacionen el comportamiento de una variable respecto a otra. Para lograr lo anterior se requiere de gran conocimiento de los procesos y de los elementos que los conforman, y de cada una de las disciplinas de la ingeniería involucradas. Es por ello que la ingeniería de control se considera un campo interdisciplinario.

Una planta o cada una de las partes que forman un sistema de control, puede ser representada por un conjunto de ecuaciones integro-diferenciales de n-ésimo orden con coeficientes lineales invariantes en el tiempo que relacionan la variable de entrada con la variable de salida de la forma:

Dónde: a1y b1 son constantes, u(t) es la entrada y y(t) es la salida.

Usando la transformada de Laplace para convertir la ecuación integro diferencial (1.1) en una ecuación algebraica considerando que las condiciones iniciales son iguales a cero llegamos a la siguiente expresión:

Relacionando la salida Y(s) con la entrada X(s) tenemos:

Esta última expresión es denominada la función de transferencia de sistema.

La función de transferencia de un sistema lineal con coeficientes constantes invariantes en el tiempo esta definida como: "La relación de la transformada de

Laplace de la salida con la transformada de Laplace de la entrada, suponiendo condiciones iniciales cero". El hecho de trabajar con funciones de transferencia, simplifica en gran medida el manejo matemático de los sistemas dado que las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones algebraicas lineales, y las operaciones en el dominio de la frecuencia compleja s son multiplicaciones simples. Con ello la salida del bloque de la figura 1.6 es Y(s) = H(s)X(s).

Una metodología a seguir para la determinación de la función de transferencia de un sistema es la siguiente:

1) Identificar las ecuaciones de equilibrio o leyes físicas involucradas en el sistema.

2) Siguiendo las ecuaciones de equilibrio plantear las ecuaciones integro diferenciales correspondientes a cada variable de interés.

3) Obtener la transformada de Laplace de cada ecuación considerando condiciones iniciales cero.

4) Relacionar la variable de salida con las variables de entrada.

Dada la naturaleza multidisciplinaria de un sistema de control este puede estar

Conformada por subsistemas interconectados, donde cada uno de ellos contiene elementos cuyo comportamiento es estudiado por diferentes ramas de la ingeniería.

Es por esta razón que a continuación se estudiarán los elementos así como las leyes de equilibrio de los sistemas más comunes como son:

- Sistemas mecánicos.

- Sistemas eléctricos.

- Sistemas de nivel de líquidos.

- Sistemas térmicos.

2.1.1 SISTEMAS MECÁNICOS

Los movimientos de los sistemas mecánicos se pueden describir como de traslación o de rotación o de una combinación de ambos. Las ecuaciones que gobiernan los sistemas mecánicos están formuladas por la ley de movimiento de Newton.

2.1.1.1 DE TRANSLACIÓN

Son los movimientos que se caracterizan por el desplazamiento de un cuerpo a lo largo de una línea recta. La ley de Newton sobre cuerpos rígidos dice que la suma algebraica de fuerzas es igual a la masa del cuerpo por el vector de aceleración:

En la relación causa-efecto del desplazamiento, los cuerpos sometidos a un conjunto de fuerzas, pueden ser modelados a través de tres elementos base: masa, resorte o muelle y rozamiento o fricción. La masa es la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de traslación:

Muelle es un elemento que almacena energía potencial al ser sometido por una fuerza externa:

Siendo k la constante del muelle. En cuanto a la fricción o rozamiento, modelan la conversión de la potencia mecánica en flujo calorífico, fenómeno que aparece cuando se deslizan dos superficies que están en contacto. Su expresión matemática es no lineal. Existen tres tipos de modelos: fricción viscosa, fricción estática y fricción de Coulomb. La primera es lineal y las otras dos siguientes no son lineales. En este curso, sólo se empleará el rozamiento viscoso para simplificar la función de transferencia de estos sistemas.

La fricción viscosa representa la relación lineal entre la fuerza aplicada a un cuerpo con la velocidad de desplazamiento entre este cuerpo y otro que está en contacto con él. Se modela como un pistón que se mueve dentro de un cilindro. El pistón se desplaza dentro del cilindro a través de una película de aceite. El aceite resiste cualquier movimiento relativo entre el pistón y la concavidad del cilindro; este efecto es debido a que el aceite puede fluir alrededor de la cámara del pistón. En este tipo de rozamiento, la transferencia de energía mecánica a calorífica es de carácter lineal. La expresión matemática es:

Figura 4.6 a) muelle b) fricción

Donde B es el coeficiente de fricción viscosa. Desde el punto de vista del análisis dimensional, las unidades en el sistema internacional de los elementos de modelado de los movimientos de traslación están relacionadas con las expresiones (4.4), (4. 5) y (4. 6):

Ejemplo 4.1

Obtener la relación causa efecto entre la fuerza aplicada a un carro sujeto a la pared a través de un muelle y el desplazamiento que se produce en éste. La masa del carro es M, el coeficiente del resorte es K y el rozamiento entre las ruedas y la superficie se modela con el coeficiente de rozamiento B. Considere condiciones iniciales nulas.

La ecuación diferencial que explica el desplazamiento del carro según el eje X, en la misma dirección que la fuerza, es:

Aplicando transformadas de Laplace resulta la FDT pedida:

2.1.1.2 DE ROTACIÓN

Los movimientos de rotación se definen como extensión de la ley de Newton: La suma algebraica de momentos o pares alrededor de un eje fijo es igual al producto de la inercia por la aceleración angular alrededor de un eje. Los elementos bases constitutivos son: el momento de inercia, el resorte tensional y la fricción viscosa.

Inercia, J, se considera a la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de rotación:

Donde r es el radio del cilindro de masa M y a, w y q son la aceleración, velocidad y desplazamiento angular respectivamente del cilindro.

Resorte tensional, k, es el elemento que almacena energía potencial por desplazamiento de unidad angular:

Fricción viscosa, B, modela el rozamiento provocado por la velocidad angular entre el cilindro y la superficie de contacto:

En análisis dimensional, las magnitudes físicas de los elementos de modelado de los movimientos de rotación en el sistema internacional son:

En la analogía con los sistemas eléctricos, el par mecánico será análogo a la corriente eléctrica y el desplazamiento angular con el potencial eléctrico. Los pares mecánicos serán representados como fuentes de corriente y el desplazamiento angular como nodos del circuito eléctrico.

2.1.2 SISTEMAS ELÉCTRICOS

Como se verá a continuación, la relación entre los elementos de los sistemas eléctricos mostrados en la Figura 3.2-1 y los de la red generalizada es directa, lo que permitirá aplicar posteriormente los teoremas y procedimientos de análisis de las redes eléctricas a las redes generalizadas.

Los elementos que se emplearán serán el capacitor (que almacena energía en un campo eléctrico), el inductor (que almacena energía en un campo magnético), la resistencia (que disipa energía) y el transformador.

Capacitor eléctrico puro

Si se arreglan dos piezas de un material conductor de manera que ellas estén separadas por un material dieléctrico (un material en el cual se puede establecer un campo eléctrico sin permitir un flujo significante de carga a través de él), se establece un campo eléctrico entre los conductores cuando fluye una carga hacia un conductor saliendo del otro. Este campo eléctrico da como resultado una diferencia de potencial entre los dos conductores, la cual depende de la cantidad de cargas localizada entre los conductores.

Los dispositivos físicos que exhiben este tipo de relación de carga y voltaje se dicen que tienen capacitancia.

Una capacitancia ideal tiene una carga proporcional a la diferencia de potencial

Donde C es la capacitancia del elemento en faradios (F = A s / V). La ecuación elemental para un capacitor ideal es

Cuando se hace fluir una carga dentro de un capacitor se transfiere energía (Ee ) al elemento, la cual está dada por:

Un capacitor almacena energía en su campo electrostático, por lo tanto Ee se llama energía de campo eléctrico. La energía almacenada en un capacitor ideal es

Inductor eléctrico puro

Cuando la corriente fluye a través de una estructura conductora, se establece un campo magnético en el espacio o material alrededor de la estructura. Si esta corriente cambia como una función del tiempo, la intensidad del campo magnético variará también con el tiempo. De acuerdo con la ley de Lenz, este campo cambiante inducirá diferencias de potencial en la estructura conductora las cuales tenderán a oponerse al cambio de la corriente- La característica básica por la cual un elemento eléctrico resiste con una diferencia de potencial al razón de cambio del flujo de corriente a través de él se llama inductancia. Se definirá la cantidad de acople de flujo ʎ como:

Un inductor puro o ideal tiene un acople de flujo proporcional a la corriente

Donde la inductancia L está medida en henrios (h = V s / A).

La ecuación elemental para un inductor ideal con L constante es

Un inductor almacena energía en el campo magnético asociado con la corriente. La energía eléctrica almacenada en un inductor puro se llama energía del campo magnético Em y está dada por

Si el inductor es ideal, entonces

Resistor eléctrico pura

Todos los materiales ordinarios exhiben resistencia al flujo de carga eléctrica. Los materiales en los cuales esta resistencia es pequeña, se llaman conductores y aquellos en que esta resistencia es alta se llaman aislantes. Al elemento que presenta esta resistencia al flujo de carga eléctrica se le llamará simplemente resistor. Un resistor puro o ideal presenta una resistencia lineal, con la ecuación elemental

La energía entregada al resistor es disipada y está dada por

Transformador eléctrico ideal

En un transformador ideal la potencia entregada al arrollado primario es la misma que la que este entrega en el arrollado secundario, no hay pérdidas internas, entonces:

La cual se puede escribir como

Donde a será la razón de transformación.

En los sistemas eléctricos la corriente por los elementos es la prevariable y la diferencia de potencial a través de ellos la transvariable.

Los nombres de los elementos generalizados asociados con los elementos eléctricos son los mismos. Un capacitor eléctrico almacena energía en forma de campo eléctrico debido a la transvariable (diferencia de potencial), un inductor eléctrico almacena energía en forma de campo magnético en virtud de la pervariable (corriente) y un resistor eléctrico disipa energía. Un transformador eléctrico estará representado por un transformador generalizado con una relación de transformación a igual al cociente de las diferencia de potencial de entrada y de salida.

2.1.3 REPRESENTACIÓN EN DIAGRAMAS DE BLOQUE A LAZO CERRADO

Un sistema de control de lazo cerrado es aquél donde la señal de salida tiene efecto sobre la acción de control. La figura 1.2 dá un panorama general de un sistema de lazo cerrado donde se puede apreciar que la salida es medida y retroalimentada para establecer la diferencia entre en valor deseado y el valor obtenido a la salida, y en base a esta diferencia, adoptar acciones de control adecuadas.

En las figuras de la 1.3 y 1.5 se dan dos ejemplos para sistemas de control de lazo cerrado. En cada una de estas figuras se puede apreciar que la parte fundamental para el control de la planta en cuestión es la red de retroalimentación que censa el estado de la salida. En estos ejemplos se ha pretendido establecer que la naturaleza de las señales en un lazo de control no necesariamente en la misma, esto es, pueden estar involucradas diferentes tipos de señales por ejemplo, mecánicas, eléctricas, térmicas, hidráulicas, etc., dentro del mismo lazo.

2.2 SISTEMAS ANÁLOGOS

Se denominan sistemas análogos aquellos que tienen igual modelo matemático pero son diferentes físicamente. Las ventajas que tiene este proceder son dos básicamente:

1. La solución de la ecuación que describe un sistema físico puede ser resuelta por un sistema análogo de otro campo. Por ejemplo, si se traslada un sistema mecánico a un símil eléctrico equivalente, se podrá aplicar todas las herramientas de la teoría de los circuitos eléctricos.

2. Facilidad en el trabajo experimental. Resulta más económico montar un circuito eléctrico que un montaje mecánico y las medidas son más asequible y hasta más fiables.

Existen varias analogías entre los movimientos de traslación y los circuitos eléctricos. Se ha elegido una de ellas, la que resulta más sencilla:

Ejemplo 4.2

El esquema de la figura muestra el comportamiento dinámico de una prensa hidráulica. Al dar presión al fluido, P, transmite una fuerza sobre el pistón que al desplazarse comprimirá al cuerpo. Este efecto se modela por un muelle, cuya constante es kp. Además, se considera despreciable la masa del cuerpo a comprimir respecto al de la prensa. No así la masa del pistón, al que se le asigna por la letra M. La dinámica del tablero, donde se apoya el cuerpo, es modelada por cuatro amortiguadores de constante k. Se pide:

a) Ecuaciones físicas de los sistemas

b) Linealizar el sistema cuando la presión del fluido sea nula, P=0.

c) Diagrama a bloques

d) FDT entre la causa, variación de la presión, y el efecto, grado de compresión del cuerpo

a) La fuerza dada por el fluido se suma a la de la propia gravedad de la masa del pistón. Ambas desplazarán el pistón hacia abajo, dando lugar a un rozamiento entre las paredes del émbolo y el pistón. Estas fuerzas comprimirán al cuerpo y el tablero se opondrá a deformarse.

Para obtener el conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales de la prensa se emplea las analogías entre los sistemas mecánicos de traslación y los sistemas eléctricos, de cuya representación se conseguirá las ecuaciones del sistema:

El nivel de compresión del cuerpo es una variable dependiente entre el desplazamiento del pistón y del tablero, al que se le designará por z.

b) Se hace notar que la fuerza de la gravedad del cilindro produce un término constante que hace necesario la linealización de las ecuaciones diferenciales, para luego obtener la FDT. En el punto de equilibrio, esto es, sin presión, marcará las condiciones de reposo:

La dinámica del sistema es una función que depende de la presión, P, de la primera y segunda derivada del desplazamiento del cilindro respecto al tiempo, x, y dela compresión del cuerpo, z. Procediendo a linealizar a :

c) El diagrama a bloques entre la compresión del cuerpo (efecto) y su causa

(Presión en el fluido), estará definida por las siguientes FDT:

d) Sólo faltará aplicar la expresión de estructuras de realimentación negativa y el encadenamiento en cascada, para obtener la FDT solicitada:

En la analogía del sistema mecánico al circuito eléctrico, las fuerzas se convierten en fuentes de corriente y los desplazamientos mecánicos suponen los nodos de potencial.

2.2.1 ANALOGÍA FUERZA VOLTAJE

Considerando los sistemas mostrados en la figura 2.1 podemos determinar siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales.

Si expresamos la ecuación (1.35) en términos de la carga obtenemos:

Si comparamos (2.2) y (2.3) observamos que son sistemas análogos, esto es, tienen una ecuación diferencial idéntica, y podemos establecer las relaciones resumidas en la tabla siguiente:

Analogía fuerza voltaje.

Otra analogía entre los sistemas mecánicos y eléctricos es conocida como analogía masa inductancia, y las relaciones se pueden observar en la tabla.

Sistema eléctrico	Sistema mecánico
Sistema eléctrico	Traslacional	Rotacional
Voltaje ( V )	Fuerza ( f )	Par ( T )
Corriente ( i )	Velocidad ( v )	Velocidad angular ( w )
Carga ( q )	Desplazamiento ( x )	Desplazamiento angular ( q )
Inductancia ( L )	Masa ( m )	Momento de inercia ( J )
Resistencia ( R )	Coeficiente de fricción viscosa traslacional ( B )	Coeficiente de fricción viscosa rotacional ( B )
Recíproco de la capacitancia (Elastancia S)	Constante del resorte traslacional( k )	Constante del resorte rotacional (k)

2.2.2 ANALOGÍA FUERZA CORRIENTE.

De manera similar podemos considerar los sistemas mostrados establecer la relación existente entre las ecuaciones de fuerza de un sistema mecánico y un sistema eléctrico. Las ecuaciones que describen el sistema para el circuito eléctrico son:

Que expresa da en términos del flujo magnético nos da:

Dado que el sistema mecánico ha sido considerado el mismo que para la analogía fuerza voltaje podemos comparar (1.36) y (1.38) para obtener obtenemos las relaciones dadas en la siguiente tabla que son denominadas analogías fuerza-corriente.

Analogía fuerza corriente.

La analogía fuerza corriente a veces es también llamada analogía masa capacitancia con las relaciones indicadas en la tabla.

Sistema eléctrico	Sistema mecánico
Sistema eléctrico	Traslacional	Rotacional
Corriente ( i )	Fuerza ( f )	Par ( T )
Voltaje ( V )	Velocidad ( v )	Velocidad angular ( w )
Acoplamiento por flujo magnético (j )	Desplazamiento ( x )	Desplazamiento angular ( q )
Capacitancia ( C )	Masa ( m )	Momento de inercia ( J )
Reciproco de la resistencia (Conductancia)	Coeficiente de fricción viscosa traslacional ( B )	Coeficiente de fricción viscosa rotacional ( B )
Reciproco de la inductancia (Invertancia)	Constante del resorte traslacional (k)	Constante del resorte rotacional (k)

2.3 ÁLGEBRA DE BLOQUES

Álgebra de bloques

Los diagramas de bloques de sistemas de control complicados se pueden simplificar usando una serie de teoremas de transformación, las cuales se obtienen fácilmente por deducción del significado de los elementos.