UTILIZACION DE SOTFWAR
SISTEMAS DE CONTROL-LAZO ABIERTO
INGENIERIA DE CONTROL
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jueves, 12 de diciembre de 2013
miércoles, 11 de diciembre de 2013
UNIDAD 5 ESTABILIDAD
Unidad 5 ESTABILIDAD
El
número de raíces de en el semiplano derecho es igual al número de cambios de
signo que se suceden en la primera columna del arreglo de Routh de dicho
polinomio.
Determina
la localización de las raíces de un polinomio con coeficientes constantes y
reales con respecto al semiplano derecho o izquierdo de Laplace. Puede ser aplicado a Sistemas SISO, MIMO, y multilazos.
Aplicación:
Dada la FTLC del sistema:
1.
Se toma la ecuación característica del sistema:
2.
Se construye el arreglo de Routh:
Donde:
3.
Se investigan los signos de la primera columna del arreglo.
“Las
raíces de la ecuación característica están todas en el semiplano izquierdo del
plano s Si: todos los elementos de la primera columna tienen el mismo signo. Si
existen cambios de signo, el número de cambios de signo es el número de raíces
con parte real positiva”.
Ejemplo
5.1: Considere la ecuación característica: 1+GH(s)= S3 + S2
+ 2S + 8
Procedemos
a construir el arreglo de Routh: Hay dos cambios de signo; por lo tanto, hay
dos polos en el semiplano derecho. Observe que:
Este
método permite el diseño del AVR y del PSS. Para el diseño del AVR, se analiza la salida del sistema de potencia sin
el lazo de realimentación de Vterm, ni el lazo del PSS. La figura
4.5 nos muestra que la respuesta del tiempo tiende a 0.0747 p.u, lo que implica
un error en régimen permanente del 25% con respecto a la entrada.
El
primer paso es representar el AVR como un controlador proporcional Kv(s)=Kp,
cerrando el lazo de control y aumentado poco a poco el valor de Kp
podemos encontrar el valor de ganancia que hace que el sistema se vuelva
oscilatorio. Este valor es aproximadamente 50, y la respuesta en el dominio del
tiempo se muestra en la figura 4.6,
donde también se puede observar como a pesar de que el sistema se vuelve más
oscilatorio al aumentar Kp, el error permanente se reduce, y el
comportamiento final del sistema tiende a comportarse similar a la tensión
referencia.
La
figura 4.7, muestra el LGR del sistema donde se observa que la ganancia con la
cual el sistema se vuelve inestable (cruza el eje imaginario), es 47.2, que es
un valor muy cercano a 50 mencionado anteriormente.
Con
un controlador proporcional, si aumentamos la ganancia tenemos oscilaciones y
si la disminuimos, aumentamos el error permanente.
Para
evitar esta situación se cambiara el AVR de un Kp a un KPI
(controlador proporcional integral), representado por la función de transferencia:
Donde:
KP=Ganancia
del controlador proporcional.
KI=Ganancia
del controlador integral.
Los
parámetros del controlador se escogen de manera que KP se encuentre
entre un intervalo de 0 a KU, (KU: ganancia donde se
inestabilidad el sistema) en este caso KU= 47.2. El controlador KI
se encuentran entre 0.1 y 10 debido que en este intervalo de valores se logra
obtener un tiempo de retardo menor a 0.5 s (tr = tiempo que dura la señal en
alcanzar el 50% de su valor final), y un sobre paso máximo menor al 10% (MP=
valor máximo de la respuesta que sobre pasa el valor final), debido a que estas
son las especificaciones para los modernos reguladores de tensión de alta
ganancia.[7]
Se
escoge por lo tanto un valor de KP =35 y KI=0.4, el
resultado se puede ver en la figura 4.8, donde las oscilaciones tienden a
amortiguarse y el error permanente se reduce casi totalmente. Con este
controlador se obtiene un tr = 0.446 s y un MP = 12.5%, parámetros
que se verán afectados al final del diseño, ya que el PSS disminuye el tiempo
de respuesta y a la vez proporciona el amortiguamiento necesario para que el
sobrepaso pueda ser reducido y cumpla con las especificaciones.
Una
vez diseñado el regulador se procede a diseñar el PSS, como la entrada al PSS proviene
de la velocidad angular se obtiene la función de transferencia desde la tensión
de referencia, hasta la entrada del PSS, se realiza el análisis del LGR de la función
de transferencia obtenida (ver anexo 1). El resultado se muestra en la figura
4.9, donde se observa como el ángulo de apertura del polo en el semiplano
derecho es de 60º.
Para
proporcionar un adecuado amortiguamiento este ángulo de salida debe ser 180º,
por lo tanto se debe agregar 120º de compensación en el lazo de realimentación
del PSS.
Para
compensar los 120º necesarios se utiliza un filtro de segundo orden de adelanto
de fase de la forma:
Para
encontrar los parámetros del filtro, se hace uso de ecuaciones que nos permitan
encontrar los valores correctos para Kd, α, z, y p. Para averiguar α
se usó la figura 4.10, que es la relación entre el Φm (grados que deben ser
compensados) y el α.
En la figura 4.10 se indica utilizar dos filtros que compensen 60º cada
uno, siendo α igual a 14
Otra
forma de averiguar la ganancia α del filtro es mediante la fórmula [7].
Con
lo que para un ángulo de 60º se obtiene un α=14, que es igual al encontrado mediante
la figura 4.10.
El
valor del cero y el polo del filtro se encuentra haciendo uso de las siguientes
ecuaciones [7]:
Donde
wc es la frecuencia de cruce por cero, igual a 9.33 rad/s y α es la ganancia igual
a 14. Con esto se encuentra que el cero debe ubicarse en s=-2.94 y el polo en s=-34.9.
Falta por determinar el valor de la ganancia Kd que suministre un amortiguamiento
del 15%. Para esto se realiza el LGR de la función de transferencia desde la
tensión de referencia hasta la salida del PSS, y se busca que la ganancia que proporcione
el amortiguamiento deseado. Esta ganancia es aproximadamente 0.762, como se
observa en la figura 4.11.
Por
lo tanto se tiene:
Sustituyendo el controlador proporcional Kd(s), por
el obtenido en la ecuación 4.7, y al cerrar el lazo de realimentación del PSS
se obtiene la figura 4.12, donde se observa como el error permanente tiende a
cero, y como la respuesta se amortigua rápidamente con un sobrepaso máximo de
7.4%, aspectos que cumplen con los parámetros del diseño. Las figuras 4.13 y
4.14 muestran como no solo se mejora la salida Vterm, sino que
también se amortigua adecuadamente las salidas w y Pe.
Resumiremos las
reglas y el procedimiento general para construir los lugares geométricos de las
raíces del sistema de la figura 2.5.3.
Primero,
obtenga la ecuación característica
En
estos análisis suponemos que el parámetro de interés es la ganancia K, en donde
K >0. (Si K < 0, lo cual corresponde al caso de realimentación positiva, bebe
modificarse la condición de ángulo.) Sin embargo observe, que el método todavía
es aplicable a sistemas con parámetros de interés diferentes a la ganancia.
1. Ubique los polos y ceros de G(s) (Hs)
en el plano s. Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces empiezan
en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros (ceros finitos o ceros en
infinito). A partir de la forma factorizada de la función de transferencia en
lazo abierto, ubique los polos y los ceros en lazo abierto en el plano s. [Observe
que los ceros en lazo abierto son los de (Gs) (Hs), en tanto que los ceros en
lazo cerrado son los de (Gs) y los polos de (Hs).
Observe
que los lugares geométricos de las raíces son simétricos con respecto al eje
real del plano s, debido a que los polos y ceros complejos sólo ocurren en
pares conjugados.
Encuentre los puntos inicio y fin de los
lugares geométricos de las raíces y localice también el número de lugares
geométricos de las raíces separados. Los puntos del lugar geométrico que
corresponde a K = 0 son los polos en lazo abierto. Esto se aprecia a partir de
la condición de magnitud, suponiendo que K tiende a cero, o que
Esta última ecuación implica que conforme K
disminuye, el valor des debe tender a uno de los polos en lazo abierto. Por lo
tanto, cada lugar geométrico de las raíces se origina en un polo de la función
de transferencia en lazo abierto (Gs) (Hs). Conforme K tiende a infinito, cada
lugar geométrico tiende al cero de la función de transferencia en lazo abierto
o al infinito del plano complejo. Esto se aprecia del modo siguiente: si
suponemos que K tiende a infinito en la condición de magnitud, entonces:
Por
tanto, el valor de s debe aproximarse a uno de los ceros finitos en lazo
abierto o a un cero en lazo abierto en infinito. [Si se incluyen los ceros en
infinito en la cuenta, (Gs) (Hs) tiene la misma cantidad de ceros que de
polos.]
Una gráfica del lugar geométrico de las raíces
tendrá tantas ramificaciones como raíces tenga la función característica. Dado
que, por lo general, la cantidad de polos en lazo abierto es mayor que la de
ceros, la cantidad de ramificaciones es igual a la de los polos. Si la cantidad
de polos en lazo cerrado es igual a la cantidad de polos en lazo abierto, la
cantidad de ramificaciones individuales del lugar geométrico de las raíces que
terminan en los ceros finitos en lazo abierto será igual a la cantidad m de
ceros en lazo abierto.
Las
n - m ramificaciones restantes terminan en infinito ( n - m ceros implícitos en
infinito ) a lo largo de las asíntotas.
Sí
incluimos los polos y los ceros en infinito, la cantidad de polos en lazo
abierto es igual a la de ceros en lazo abierto. Por tanto, siempre podemos
plantear que los lugares geométricos de las raíces empiezan en los polos de
(Gs) (Hs) y terminan en los ceros de (Gs) (Hs) conforme K aumenta de cero a
infinito, en donde los polos y los ceros incluyen tanto aquéllos finitos y en
infinitos en el plano s.
2.- Determine los lugares geométricos
de las raíces sobre el eje real. Los lugares geométricos de las raíces sobre el
je real se determinan mediante los polos y los ceros en lazo abierto que se
encuentran sobre él. Los polos y los ceros complejos conjugados de la función
de transferencia en lazo abierto no afectan la ubicación de los lugares
geométricos de las raíces sobre el eje real, porque la contribución del ángulo
de un par de polos o ceros complejos conjugados es 360°sobre el eje real. Cada
parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un
rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geométricos
sobre el je real, seleccione un punto en éste. Si la cantidad total de polos y
ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra
en el lugar geométrico de las raíces. El lugar geométrico de las raíces y su
firma complementaria alternan segmentos a lo largo del eje real.
3.- Determine las asíntotas de los
lugares geométricos de las raíces. Si el punto de prueba s se ubica lejos del
origen, se considera que no cambia el ángulo de cada cantidad compleja.
Entonces, un cero en lazo abierto y un polo en lazo abierto cancelan los
efectos del otro. Por tanto, los lugares geométricos de las raíces para valores
de s muy grandes deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos
(pendientes) se obtengan mediante
Ángulos de las asíntotas:
En donde n = número de polos finitos
de (Gs) (Hs)
m = números de ceros finitos de (Gs) (Hs)
Aquí, k = 0 corresponde a las asíntotas con el
ángulo más pequeño con respecto al eje real. Aunque k supone una cantidad
infinita de valores, conforme aumenta, el ángulo se repite así mismo y la
cantidad de asíntotas es n - m.
Todas
las asíntotas interceptan al eje real en un punto que se obtiene del modo
siguiente: si se expanden el numerador y el denominador de la función de transferencia
en lazo abierto, el resultado es
Si
un punto de prueba se localiza lejos del origen, entonces dividiendo el denominador
entre el numerador, podemos escribir (Gs) (Hs) como
Dado que la ecuación característica es
Puede
escribirse como:
Para
un valor grande de s la ecuación anterior se aproxima mediante
Si la abscisa de la intersección de
las asíntotas y el eje real se representa mediante s =σ a , entonces
O bien:
Debido a que todos los polos y ceros
complejos ocurren en pares conjugados, σ a siempre es una cantidad real. Una
vez que se encuentra la intersección de las asíntotas y el eje real, es fácil
dibujar las asíntotas en el plano complejo. Es importante señalar que las
asíntotas muestran el comportamiento de los lugares geométricos de las raíces
para s >> 1. Una ramificación del lugar geométrico de las raíces puede
encontrarse en un lado de la asíntota correspondiente o puede atravesar ésta de
un lado al otro.
4.- Encuentre los puntos de
desprendimiento y de ingreso. Debido a la simetría conjugada de los lugares
geométricos de las raíces, los puntos de desprendimiento y de ingreso se
encuentran sobre el eje real o bien ocurren en pares complejos conjugados.
Si
un lugar geométrico de las raíces se ubica entre dos polos en lazo abierto
adyacentes sobre el eje real, existe al menos un punto de desprendimiento entre
dichos dos polos. Asimismo, si el lugar geométrico de las raíces esta entre dos
ceros adyacentes (un cero puede ubicarse en -∞) sobre el eje real, siempre existe
al menos un punto de ingreso entre los dos ceros. Si el lugar geométrico de las
raíces se ubica entre un polo en lazo abierto y un cero (finito o no finito)
sobre el eje real, puede o no existir puntos de desprendimiento o de ingreso, o
bien pueden existir ambos.
Suponga que la ecuación característica se obtiene mediante
Los
puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso corresponden a las raíces múltiples
de la ecuación característica. Por tanto, los puntos de desprendimiento y de
ingreso se determinan a partir de las raíces de
En
donde la prima indica una diferenciación con respecto a s. Es importante señalar
que los puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso deben ser las raíces
de la ecuación anterior, aunque no todas las raíces de la ecuación anterior se
encuentran en la parte del eje real del lugar geométrico de las raíces, es un punto
de desprendimiento o de ingreso real. Si una raíz real de la ecuación anterior
no está en la parte del eje real del lugar geométrico, esta raíz no corresponde
a un desprendimiento ni a un punto de ingreso. Si dos raíces s = s1 y s = -s1
de la ecuación anterior son un par complejo conjugado y si no es seguro que
están en los lugares geométricos de las raíces, es necesario verificar el valor
de K correspondiente. Si el valor de K que corresponde a la raíz s = s1 de
dK/ds = 0 es positivo, el punto s = s1 es un punto de desprendimiento o de
ingreso real.(Dado que se supone que K es no negativo, si es negativo el valor
obtenido de K el punto s = s1 no es de desprendimiento ni de ingreso.)
5.- Determine el ángulo de salida
(ángulo de llegada) de un ángulo geométrico de las raíces a partir de un polo
complejo (un cero complejo). Para trazar los lugares geométricos de las raíces
con una precisión razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares
geométricos de las raíces cercanas a los polos y ceros complejos. Si se
selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercanía precisa del polo
complejo (o del cero complejo), se considera que no cambia la suma de las
contribuciones angulares de todos los otros polos y ceros. Por tanto, el ángulo
de llegada (o ángulo de salida) del lugar geométrico de las raíces de un polo complejo
(o de un cero complejo), se encuentra restando a 180°la suma de todos los
ángulos de vectores, desde todos los polos y ceros hasta el polo complejo (o cero
complejo) en cuestión, incluyendo los signos apropiados.
Angulo
de salida desde un polo complejo = 180°
-(suma
de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde otros
polos)
+ (Suma de los ángulos de vectores hacia el
polo complejo en cuestión desde los ceros)
Angulo de llegada a un cero complejo = 180°
-(suma de los
ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde otro cero)
+ (Suma de los ángulos de vectores hacia el
cero complejo en cuestión desde los polos)
El ángulo de salida aparece en la figura 2.5.4
6.- Encuentre los puntos en los que
los lugares geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario. Los puntos en
los que los lugares geométricos de las raíces intersectan al eje jω se
encuentran con facilidad por medio de: (a) el criterio de estabilidad de Routh,
o (b) suponiendo que s = jω en la ecuación característica, igualando con cero
la parte real y la parte imaginaria y despejando ω y K. En este caso, los
valores encontrados de ω representan las frecuencias en las cuales los lugares
geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario. El valor de K que
corresponden a cada frecuencia de cruce produce la ganancia en el punto de cruce.
7.- Tomando una serie de puntos de
prueba en la vecindad amplia del origen del plano s, trace los lugares
geométricos. Determine los legares geométricos de las raíces en la vecindad
amplia del eje ω y el origen. La parte más importante de los lugares
geométricos de las raíces no está sobre el eje real ni en las asíntotas, sino en
la parte de la vecindad amplia del eje jω y el origen. La forma de los lugares geométricos
de las raíces en esta región importante del plano s debe obtenerse con
suficiente precisión.
8.- Determine los polos en lazo
cerrado. Un punto específico de cada ramificación del lugar geométrico de las
raíces será un polo en lazo cerrado si el valor de K en dicho punto satisface
la condición de magnitud. Por otra parte, la condición de magnitud nos permite
determinar el valor de la ganancia en K en cualquier ubicación de las raíces
específicas sobre el lugar geométrico. ) si es necesario, se establece una
graduación de los lugares geométricos en términos de K. Los lugares geométricos
de las raíces son continuos con K).
El valor de K
que corresponde a cualquier punto s sobre el lugar geométrico de las raíces se
obtienen a partir de la condición de magnitud, o bien
Este valor debe
calcularse en forma gráfica o analítica.
Si
este problema de la ganancia K de la función de transferencia en lazo abierto,
entonces, aplicando la condición de magnitud encontramos las ubicaciones
correctas de los polos en lazo cerrado para un K determinado de cada ramificación
de los lugares geométrico de las raíces, mediante un enfoque de prueba y error
o mediante MATLAB, lo cual se presentara en la sección 2.5.1.
Configuraciones
comunes de polos y ceros y los correspondientes lugares geométricos de las
raíces. Para concluir
Esta
sección mostramos la tabla 2.5.1, que contiene varias configuraciones de polos
y ceros en lazo abierto y los correspondientes lugares geométricos de las Notas
del Curso de Control I M. C. Jaime Cid Monjaraz 12 raíces. El patrón de los
lugares geométricos de las raíces sólo depende de la separación relativa de los
polos y ceros en lazo abierto. Si el número de polos en lazo abierto excede el
número de ceros finitos en tres o más, existe un valor de la ganancia K más
allá del cual los lugares geométricos de las raíces entran en el semiplano
derecho del plano s y, por lo tanto, el sistema puede volverse inestable.
Un
sistema estable debe tener todos sus polos en lazo cerrado en el semiplano izquierdo
del plano s.
Observe
que, una vez que hemos adquirido cierta experiencia con el método, nos es fácil
evaluar los cambios en los lugares geométricos de las raíces debidos a las
modificaciones en el número y ubicación de los polos y ceros en la lazo abierto
visualizando las gráficas de los lugares geométricos de las raíces que se
producen de las diversas configuraciones de los polos y ceros.
Si
G(s) contiene polos idénticos a cero H(s), al obtener la función de
transferencia de lazo abierto se cancelarán y no se tendrán en cuenta a la hora
de dibujar el lugar de las raíces. Sin embargo ese polo que se ha cancelado es
un polo de la función de transferencia de lazo cerrado del sistema. Por lo
tanto para obtener el total de los polos de lazo cerrado se ha de añadir dicho
polo a los obtenidos mediante el el lugar de las raíces.
domingo, 8 de diciembre de 2013
UNIDAD 4. ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL
4. ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL
Un controlador
automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de
referencia (el valor deseado), determina la desviación y produce una señal de
control que reducirá la desviación a cero o a un valor pequeño. La manera en la
cual el controlador automático produce la señal de control se denomina acción de control.
En este capítulo
analizaremos primero las acciones de control básicas que se usan en los
sistemas de control industriales. Después revisaremos los efectos de las
acciones de control integral y derivativa en la respuesta del sistema. A
continuación consideraremos la respuesta de sistemas de orden superior.
Cualquier sistema físico se volverá inestable si alguno de los polos en lazo
cerrado se encuentra en el semiplano derecho del plano S. Para verificar la
existencia o inexistencia de tales polos en el semiplano derecho del plano, es
útil el criterio de estabilidad de Routh. En este capítulo incluiremos un
análisis de este criterio de estabilidad.
Muchos controladores
automáticos industriales son electrónicos, hidráulicos, neumáticos o alguna
combinación de éstos. En este capítulo presentamos los principios de los
controladores neumáticos, hidráulicos y electrónicos.
El panorama del
capítulo es el siguiente: la sección 5-1 presentó el material de introducción.
La sección 5-2 ofrece
las acciones básicas de control que suelen usar los controladores automáticos
industriales. La sección 5-3 analiza los efectos de las acciones de control
integral y derivativa sobre el desempeño de un sistema. La sección 54 aborda
los sistemas de orden superior y la sección 5-5 trata el criterio de
estabilidad de Routh. Las secciones 5-6 y 5-7 analizan los controladores
neumáticos e hidráulicos, respectivamente. En ellas se presenta el principio de
la operación de los controladores neumáticos e hidráulicos y los métodos para
generar diversas acciones de control. La sección 5-8 trata los controladores
electrónicos que usan los amplificadores operacionales. La sección 5-9 analiza
el adelanto de fase y el atraso de fase en la respuesta senoidal. Se obtiene la
función de transferencia senoidal y se muestra el adelanto de fase y el atraso
de fase que pueden ocurrir en la respuesta senoidal. Por último, en la sección
5-10 tratamos los errores en estado estable en las respuestas de un sistema.
4.1 Acciones de
control.
En esta sección
analizaremos los detalles de las acciones básicas de control que utilizan los
controladores analógicos industriales. Empezaremos con una clasificación de los
controladores analógicos industriales.
Casi todos los
controladores industriales emplean como fuente de energía la electricidad o un
fluido presurizado, tal como el aceite o el aire. Los controladores también
pueden clasificarse, de acuerdo con el tipo de energía que utilizan en su operación,
como neumáticos, hidráulicos o electrónicos. El tipo de controlador que se use
debe decidirse con base en la naturaleza de la planta y las condiciones
operacionales, incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo,
disponibilidad, confiabilidad, precisión, peso y tamaño.
Controlador automático, actuador y sensor (elemento de medición). La
figura
5-1 es un diagrama de
bloques de un sistema de control industrial que consiste en un controlador
automático, un actuador, una planta y un sensor (elemento de medición). El
controlador detecta la señal de error, que por lo general, está en un nivel de
potencia muy bajo, y la amplifica a un nivel lo suficientemente alto. La salida
de un controlador automático se alimenta a un actuador, tal como un motor 0 una
vGula neumáticos, un motor hidráulico, 0 un motor eléctrico. (El actuador es un
dispositivo de potencia que produce la entrada para la planta de acuerdo con la
señal de control, a fin de que la señal de salida se aproxime a la señal de
entrada de referencia.)
El sensor,
o elemento de medición, es un dispositivo que convierte la variable de salida
en otra variable manejable, tal como un desplazamiento, una presión, o un
voltaje, que pueda usarse para comparar la salida con la señal de entrada de
referencia. Este elemento está en la trayectoria de realimentación del sistema
en lazo cerrado. El punto de ajuste del controlador debe convertirse en una
entrada de referencia con las mismas unidades que la señal de realimentación
del sensor o del elemento de medición.
Controladores autooperados. En la mayor parte de los controladores
automáticos industriales, se usan unidades separadas para el elemento de
medición y el actuador. Sin embargo, en algunos muy sencillos, como los
controladores autooperados, estos elementos se integran en una unidad. Los
controladores autooperados utilizan la potencia desarrollada por el elemento de
medición, son muy sencillos y poco costosos. Un ejemplo de un controlador
autooperado aparece
en la figura 5-2. El punto de ajuste lo determina la modificación de la fuerza
del resorte. El diafragma mide la presión controlada. La señal de error es la
fuerza neta que actúa sobre el diafragma. Su posición determina la apertura de
la válvula.
La operación del
controlador auto operado es la siguiente: suponga que la presión de salida es
más baja que la presión de referencia, determinada por el punto de ajuste. Por
tanto, la fuerza de tensión hacia abajo es mayor que la fuerza de presión hacia
arriba, lo cual produce un movimiento hacia abajo del diafragma. Esto aumenta
la velocidad de flujo y eleva la presión de salida. Cuando la fuerza de presión
hacia arriba es igual a la fuerza de tensión hacia abajo, el vástago de la
válvula permanece estacionario y el de flujo es constante.
Por el contrario, si
la presión de salida es más alta que la presión de referencia, la apertura de
la válvula se hace más pequeña y reduce el flujo que pasa a través de ella. Los
controladores auto operados se usan mucho en el control de la presión del agua
y el gas.
4.1.1 ACCIÓN DE DOS POSICIONES.
Acción de control de dos posiciones o de encendido y apagado (on/off). En un sistema de
control de dos posiciones, el elemento de actuación ~610 tiene dos posiciones fijas
que, en muchos casos, son simplemente encendido y apagado. El control de dos
posiciones o de encendido y apagado es relativamente simple y barato, razón por
la cual su uso es extendido en sistemas de control tanto industriales como
domésticos.
Supongamos que la
señal de salida del controlador es u(t) y que la señal de error es e(t). En el
control de dos posiciones, la señal u(t) permanece en un valor ya sea máximo o
mínimo, dependiendo de si la señal de error es positiva o negativa. De-este
modo, en donde UI y UZ son constantes. Por lo general, el valor mínimo de es cero o -UI. Es común que los
controladores de dos posiciones sean dispositivos eléctricos, en cuyo caso se usa
extensamente una válvula eléctrica operada por solenoides. Los controladores neumáticos
proporcionales con ganancias muy altas funcionan como controladores de dos posiciones
y, en ocasiones, se denominan controladores neumáticos de dos posiciones.
Las figuras 5-3(a) y
(b) muestran los diagramas de bloques para dos controladores de dos posiciones.
El rango en el que debe moverse la señal de error antes de que ocurra la conmutación
se denomina brecha diferencial. En
la figura 5-3(b) se señala una brecha diferencial.
Tal brecha provoca
que la salida del controlador u(t) conserve su valor presente hasta que la
señal de error se haya desplazado ligeramente más allá de cero. En algunos
casos, la brecha diferencial es el resultado de una fricción no intencionada y
de un movimiento perdido; sin embargo, con frecuencia se provoca de manera
intencional para evitar una operación demasiado frecuente del mecanismo de
encendido y apagado.
Considere el sistema
de control del nivel de líquido de la figura 5-4(a), en donde se usa la válvula
electromagnética de la figura W(b) para controlar el flujo de entrada. Esta válvula
está abierta o cerrada. Con este control de dos posiciones, el flujo de entrada
del agua es una constante positiva o cero. Como se aprecia en la figura 5-5, la
señal de salida se mueve continuamente entre los dos límites requeridos y
provoca que el elemento de actuación se mueva de una posición fija a la otra.
Observe que la curva
de salida sigue una de las dos curvas exponenciales, una de las cuales
corresponde a la curva de llenado y la otra
a la curva de
vaciado. Tal oscilación de salida entre dos límites es una respuesta común
característica de un sistema bajo un control de dos posiciones.
En la figura 5-5
observamos que, para reducir la amplitud de la oscilación de salida, debe
disminuirse la brecha diferencial. Sin embargo, la reducción de la brecha
diferencial aumenta la cantidad de conmutaciones de encendido y apagado por
minuto y reduce la vida útil del componente. La magnitud de la brecha
diferencial debe determinarse a partir de consideraciones tales como la
precisión requerida y la vida del componente.
4.1.2 ACCIÓN PROPORCIONAL.
Para un controlador
con acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador
u(t) y la señal de error e(t) es:
en donde Kp se considera la ganancia
proporcional.
Cualquiera que sea el
mecanismo real y la forma de la potencia de operación, el controlador
proporcional es, en esencia, un amplificador con una ganancia ajustable. En la
figura 5-6 se presenta un diagrama de bloques de tal controlador.
4.1.3. ACCIÓN INTEGRAL.
En un controlador con
acción de control integral, el valor de la salida del controlador u(t) se
cambia a una razón proporcional a la señal de error e(t). Es decir,
Si se duplica el
valor de e(t), el valor de u(t) varía dos veces más rápido. Para un error de cero,
el valor de u(t) permanece estacionario. En ocasiones, la acción de control
integral se denomina control de reajuste (reset). La figura 5-7 muestra un diagrama de bloques de tal controlador.
4.1.4. ACCIÓN DERIVADA
Acción de control
Derivativa,
„
No se usa de forma
independiente
…
e(t)=cte ->
de(t)/dt=0 -> u(t)=0
·
Ley
de control PD
Acción predictiva
…
·
Anticipa
el error futuro (no depende sólo del
error sino también de cómo varía éste)
…
·
Mejora
el comportamiento (más rápida y menos oscilaciones)
…
·
Amplifica
las señales de ruido -> Introducción de filtro
·
Bajas frecuencias
…
Ganancia como un P
…
Fase aprox. igual
„
·
Altas frecuencias
…
Ganancia aumenta a razón de 20 dB/dec
…
Fase sube 90º
4.1.5. ACCIÓN DE
CONTROL PROPORCIONAL E INTEGRAL.
La acción de control de un controlador
proporcional-integral (PI) se define mediante
O la función de transferencia del controlador es
en donde K,, es la ganancia proporcional y Ti se denomina tiempo integral. Tanto KP como Ti son ajustables. El tiempo integral ajusta la acción de
control integral, mientras que tin cambio en el valor de KP afecta las partes integral y
proporcional de la acción de control.
El inverso del tiempo
integral Ti se denomina velocidad de reajuste. La
velocidad de reajuste es la cantidad de veces por minuto que se duplica la
parte proporcional de la acción de control. La velocidad de reajuste se mide en
términos de las repeticiones por minuto. La figura 5-8(a) muestra un diagrama
de bloques de un controlador proporcional más integral.
Si la señal de error e(t) es una función escalón
unitario, como se aprecia en la figura 5-8(b), la salida del controlador u(t)
se convierte en lo que se muestra en la figura 54~).
4.1.6. ACCIÓN DE
CONTROL PROPORCIONAL Y DERIVADA.
La acción de control
de un controlador proporcional-derivativa (PD) se define mediante
en donde Kp es la
ganancia proporcional y Td es
una constante denominada tiempo
derivativo.
Tanto KP como Td son ajustables. La acción de control derivativa, en
ocasiones denominada control de
velocidad, ocurre donde la magnitud de la salida del controlador es proporcional
a la velocidad de cambio de la señal de error. El tiempo derivativo Td es el intervalo de tiempo
durante el cual la acción de la velocidad hace avanzar el efecto de la acción de
control proporcional. La figura 5-9(a) muestra un diagrama de bloques de un controlador
proporcional-derivativo. Si la señal de error e(t) es una función rampa unitaria como se aprecia en la
figura 5-9(b), la salida del controlador u(t) se convierte en la que se muestra
en la figura 5-9(c). La acción de control derivativa tiene un carácter de
previsión.
Sin embargo, es obvio
que una acción de control derivativa nunca prevé una acción que nunca ha
ocurrido.
Aunque la acción de
control derivativa tiene la ventaja de ser de previsión, tiene las desventajas
de que amplifica las señales de ruido y puede provocar un efecto de saturación en
el actuador.
Observe que la acción
de control derivativa no se usa nunca sola, debido a que es eficaz durante periodos transitorios.
4.1.7. ACCIÓN DE
CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVA.
La combinación de una
acción de control proporcional, una acción de control integral y una acción de
c6ntrol derivativa se denomina acción de control
proporcional-integral-derivativa (PID). Esta acción
combinada tiene las
ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación
de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante
en donde Kp es la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral y Td es el tiempo derivativo.
El diagrama de
bloques de un controlador proporcional-integral-derivativo aparece en la figura
5-lo(a). Si e(t) es una función
rampa unitaria, como la que se observa en la figura 5-lo(b), la salida del
controlador u(t) se convierte en la de la figura 5-lo(c).
Efectos del sensor (elemento de medición) sobre el desempeño del sistema.
Dado que las
características dinámica y estática del sensor o del elemento de medición afecta
la indicación del valor real de la variable de salida, el sensor cumple una
función importante para determinar el desempeño general del sistema de control.
Por lo general, el sensor determina la función de transferencia en la
trayectoria de realimentación. Si las constantes de tiempo de un sensor son
insignificantes en comparación con otras constantes de tiempo del sistema de
control, la función de transferencia del sensor simplemente se convierte en una
constante. Las figuras 5-ll(a), (b) y (c) muestran diagramas de bloques de
controladores automáticos con un sensor de primer orden, un sensor de segundo orden
sobreamortiguado y un sensor de segundo orden subamortiguado, respectivamente.
Con frecuencia la
respuesta de un sensor térmico es del tipo de segundo orden sobreamortiguado.
4.1.7.1 MÉTODO DE ZIEGLER Y NICHOLS
·
Método
experimental para sintonizar P, PI, PID en base a la respuesta temporal
„
·
Se
suele conseguir una SO del 25 % (primera aproximación)
„
·
Útiles
cuando no se tiene buen modelo de la planta
„
PRIMER METODO:
RESPUESTA ANTE ESCALON EN B.A
…La salida se debe
asemejar a una respuesta de primer orden de la forma:
SEGUNDO MÉTODO:
RESPUESTA ANTE ESCALON EN B.C
…
Anulamos acción
integral (Ti=∞) y derivativo (Td=0), aumentando Kp desde O hasta Kcr, donde la salida presente oscilaciones
mantenidas (GANANCIA CRíTICA)
…
Determinamos PERIODO
CRÍTICO (Pcr=2π/wcr)
…
En Bode, Kcr=Mg,
Pcr=2π/w180)
4.2 CRITERIOS PARA LA SELECCIÓN DE UN CONTROLADOR.
El controlador PID básico
combina las acciones proporcional, derivativa e integral mediante el siguiente
algoritmo de control:
Como es bien sabido,
el término proporcional contribuye a la reducción del error en régimen
permanente. Ahora bien, la ganancia requerida para que dicho error se reduzca
hasta los niveles deseados con la aplicación de un mero control proporcional puede
ser incompatible con las especificaciones de sobreoscilación y estabilidad
relativa del sistema. La acción integral tiene un efecto cualitativo sobre el
error en régimen permanente, ya que aumenta el tipo del sistema y garantiza la
anulación de ´este cuando la referencia es de tipo escalón. El término
derivativo permite una cierta predicción del futuro error y por tanto juega un
papel anticipativo.
La primera definición
en el diseño de un sistema de control PID es la elección del controlador, posteriormente,
se ajustarán los parámetros del mismo. A una buena elección de tipo de
controlador a emplear (P, PI, PD o PID) ayudan las siguientes consideraciones
[8, 7]:
·
Controlador
P.
En ciertos tipos de
procesos es posible trabajar con una ganancia elevada sin tener ningún problema
de estabilidad en el controlador. Muchos procesos que poseen una constante de
tiempo dominante o son integradores puros caen en esta categoría. Una alta
ganancia en un controlador P significa que el error en estado estacionario será
pequeño y no se necesitara incluir la acción integral. Un ejemplo característico
en el que no es muy relevante el error en régimen permanente es el bucle
interno de un controlador en cascada; el que la variable que se ha tomado como
secundaria no alcance su valor no debe preocupar excesivamente.
·
Controlador
PD
En líneas generales,
el control PD puede ser apropiado cuando el proceso a controlar incorpore ya un
integrador. Por ejemplo, un proceso térmico con un buen aislamiento opera de
forma análoga a un integrador. Casi toda la energía que se le suministra se
emplea en elevar la temperatura del horno ya que las pérdidas son
despreciables. Con esta clase de procesos es posible trabajar con ganancias elevadas
en el controlador sin que sea necesario introducir la acción integral. La acción
derivada es sensible al ruido ya que a altas frecuencias tiene una ganancia
relativamente elevada, por lo tanto, en presencia de altos niveles de ruido se
debe limitar dicha ganancia, o prescindir de la acción derivativa. Asimismo, en
procesos con grandes tiempos muertos la acción anticipativa del término
derivativo deja de ser efectiva ya que la aproximación lineal
tan sólo tiene
validez para pequeños valores de Td. Debido a los tiempos muertos hay un
retardo antes de que los efectos de cualquier acción de control se puedan detectar
sobre la variable de proceso. Es, por lo tanto, considerablemente mejor con
esta clase de procesos intentar predecir su acción futura analizando la señal
de control en combinación con un modelo del proceso. Esto es lo que hace el predictor
de smith, que fue estudiado en el tema 10 de la asignatura.
·
Controlador
PI
Es la estructura más
usual del controlador. La introducción de la acción integral es la forma más
simple de eliminar el error en régimen permanente. Otro caso en el que es común
utilizar la estructura PI es cuando el desfase que introduce el proceso es
moderado (procesos con una constante de tiempo dominante o incluso integradores
puros). La acción derivativa más que una mejora en esta situación es un
problema ya que amplifica el ruido existente. También se recomienda la acción PI
cuando hay retardos en el proceso, ya que como se ha visto en el punto anterior,
la acción derivativa no resulta apropiada en este tipo de sistemas. Un tercer
caso en el que se debería desconectar la acción derivativa es cuando el proceso
está contaminado con niveles de ruido elevados. Como primera medida, se debería
filtrar el ruido existente, pero en algunas ocasiones esto no es suficiente.
·
Controlador
PID
La acción derivativa
suele mejorar el comportamiento del controlador, ya que permite aumentar las
acciones proporcional e integral. Se emplea para mejorar el comportamiento de
procesos que no poseen grandes retardos pero que si presentan grandes desfases.
Este es el caso típico de procesos con múltiples constantes de tiempo.
Se concluye pues que
la primera decisión en el diseño de un sistema de control PID es la elección
del controlador. A una buena elección de ´este (P, PI, PD o PID), ayudan,
además de las anteriores consideraciones, la experiencia que se tenga sobre el
proceso a controlar
CRITERIO DE
SINTONOMÍA
La sintonía de
controladores PID para procesos industriales está basada normalmente en
especificaciones nominales sobre determinadas características de la respuesta
del sistema en lazo cerrado a cambios bruscos en el punto de consigna o en la
carga. También es usual basar el diseño en criterios de optimización sobre la señal
de error, tratando de minimizar alguna de las cuatro integrales típicas de la
señal de error: la integral del error (IE), la integral del cuadrado del error
(ISE), la integral del valor absoluto del error (IAE) y la integral del valor
absoluto del error ponderado en el tiempo (ITAE).
Los ´éxitos cosechados
por las propuestas de ˚Astrom y Hagglund en 1984 han hecho que actualmente sea
m´as habitual encontrar soluciones a la sintonía de los controladores PID para
procesos industriales basadas en especificaciones de estabilidad relativa en el
dominio frecuencial, es decir, en determinadas características de la respuesta
en frecuencia del conjunto (controlador+proceso). Las dos especificaciones
tradicionalmente utilizadas han sido el margen de fase y el margen de ganancia.
El criterio de razón
de amortiguamiento de 1/4 que fue utilizado por Ziegler y Nichols, previene de
grandes desviaciones en el primer pico de la respuesta del sistema cuando se
producen cambios en la carga o perturbaciones sobre el sistema, pero trae consigo
una sobreoscilación del 50% para cambios bruscos en el punto de consigna, que puede
ser excesiva en la mayoría de las aplicaciones (en secciones venideras se abordará
cómo mitigar este problema). Existen fórmulas de sintonía que garantizan sobreoscilaciones
menores. Tanto la m´axima sobreelongación como la razón de amortiguamiento, que
est´an directamente relacionadas, se pueden inspeccionar fácilmente, incluso de
forma visual, pues basta con prestar atención a uno o dos puntos de la
respuesta del sistema en lazo cerrado. Por lo tanto, es normal que los ingenieros
de procesos se encuentren muy familiarizados con ellos y que manifiesten un
mayor interés por fórmulas de sintonía que utilicen estos criterios.
No ocurre lo mismo
con las integrales de error, que no son tan fáciles de inspeccionar. En cambio,
los criterios integrales tienen la ventaja de ser m´as precisos de cara a la sintonía
del controlador, pues mientras varias combinaciones de parámetros de control pueden
dar lugar a una misma razón de amortiguamiento, sólo una combinación de parámetros
minimizará la correspondiente integral.
4.3 CONSTRUCCIÓN DE CONTROLADORES
En este trabajo se
presenta el diseño y construcción de un sistema de posicionamiento línea
realizado durante los cursos de Control I y Control II de la carrera de
Ingeniería Electrónica de la UABC
.
La finalidad de este
prototipo es servir como sistema de prueba para distintas técnicas de control
automático. Los resultados fueron bastante buenos ya que el sistema ha mostrado
ser un buen ejemplo para aplicaciones de las técnicas de control clásico así
como control moderno a nivel superior
4.3.1 CONTROLADOR PID ELÉCTRICO.
.3.2 CONTROLADOR PID ELECTRÓNICO.
Esta sección analiza
los controladores electrónicos que usan amplificadores operacionales. Empezaremos
por obtener las funciones de transferencia de los circuitos con amplificadores operacionales
simples. A continuación obtendremos las funciones de transferencia de algunos
de los controladores con amplificadores operacionales. Por último, proporcionaremos
en una tabla. Los controladores con amplificadores operacionales y sus
funciones de transferencia.
Amplificadores operacionales. Los amplificadores operacionales, también
conocidos como ampops, se usan con frecuencia para amplificar las señales de
los circuitos sensores. Los ampops también se usan con frecuencia en los
filtros que sirven para compensación.
La figura 5-43
muestra un amp op. Es una práctica común seleccionar la tierra como 0 volts y
medir los voltajes de entrada et y es en relación con ella. La entrada et hacia
la terminal negativa del amplificador está invertida y la entrada es hacia la
terminal positiva no lo está. Por consiguiente, la entrada total al
amplificador se convierte en e2 - el. De este modo, para el circuito de la
figura 5-54, tenemos que,
en donde las entradas
el y e2 pueden ser señales de cd o ca y K es la ganancia diferencial o la ganancia de voltaje. La
magnitud de K es,
aproximadamente de 105 - 106 para las sefiales de cd y señales de ca tienen
frecuencias menores que unos 10 Hz. (La ganancia diferencial disminuye con la
frecuencia de la señal y se estabiliza alrededor de la unidad para frecuencias de
1 Mhz - 50 Mhz.) Observe que el amp op amplifica la diferencia entre los voltajes
el y ea. Tal amplificador se denomina amplificador diferencial. Dado que la
ganancia del amp op es muy alta, es necesario tener una realimentación negativa
de la salida hacia la entrada para hacer estable el amplificador. (La
realimentación se lleva a cabo de la salida hacia la entrada inversora para que
la realimentación sea negativa.)
En el amp op ideal no
fluyen corrientes en las terminales de entrada y el voltaje de salida no se ve
afectado por la carga conectada a la terminal de salida. En otras palabras, la
impedancia de entrada es infinita y la impedancia de salida es cero. En un amp
op real, fluye una corriente muy pequeña (casi insignificante) hacia una
terminal de entrada y la salida no se carga demasiado. En el amilisis que se
hace aquí, suponemos que los amp ops son ideales.
Amplificador inversor. Considere el amplificador operacional de la figura 5-14.
Obtengamos el voltaje
de salida eO.
4.3.3 CONTROLADOR PID MECÁNICO.
Los sistemas mecánicos
se componen de elementos que pueden comportarse como masas, amortiguadores o
muelles. La ecuación diferencial que rige el comportamiento de una masa es la
segunda ley de
Newton:
Donde f es la suma de
las fuerzas exteriores aplicadas a la masa y x es su desplazamiento. El parámetro
constante m es la propia masa y su unidad fundamental en el SI es el kilogramo,
kg. Si el sistema gira en lugar de desplazarse, la ecuación que gobierna su
movimiento es:
Donde ¿es la suma de
los pares exteriores aplicados al sistema y µ su giro. El parámetro constante J
es la inercia del sistema y su unidad es el kg¢m2
.
La fuerza f que
restituye un amortiguador cuando se comprime es proporcional a la velocidad con
que se aproximan sus extremos. La ecuación diferencial que rige su
comportamiento es:
El parámetro c es la
constante del amortiguador o viscosidad, y su unidad es el Ns/m. Si una masa se
desplaza dentro de un medio viscoso (al aire, el agua, etc.), además de su
propia inercia debe vencer una fuerza viscosa proporcional a la velocidad con
que se desplaza dicha masa. Este efecto se puede modelizar matemáticamente con
un amortiguador cuyos extremos estuvieran anclados uno en el centro de gravedad
de la masa y otro en un punto exterior ¯jo del medio. Evidentemente, este
efecto no aparece en el vacío o en el espacio exterior, fuera de la atmosfera.
La fuerza f que
restituye un muelle o resorte cuando se comprime es proporcional a la distancia
x que se han acercado sus extremos desde su longitud natural. Es la llamada ley
de Hooke:
La constante k
representa la rigidez del muelle y su unidad es el N/m. Para obtener las
ecuaciones que representan a los sistemas mecánicos, se a¶³sla cada elemento
del sistema, introduciendo las fuerzas de enlace y se aplica la segunda ley de
Newton a dicho elemento. A continuación se muestran algunos casos en los que se
da una combinación de los tres elementos básicos de un sistema mecánico y las
ecuaciones diferenciales que los gobiernan.
También es posible
que el sistema pueda modelizarse despreciando la masa de los elementos móviles.
Este es el caso del sistema de la Fig. 1.6, regido por la ecuación diferencial
(1.7).
En el sistema de la
Fig. 1.7 ante una única entrada u existen dos variables temporales de salidas los
desplazamientos de las masas x1 y x2. Este sistema puede servir para modelizar
el comportamiento del sistema de amortiguación de un vehículo. La masa m2
representa la parte amortiguada del vehículo, mientras que m1 es el conjunto de
la rueda y el eje. El desplazamiento de entrada u es el per¯l de la carretera
que actúa sobre la rueda a través de la rigidez del neumático k1.
Si lo único que
interesa del sistema es el desplazamiento de la masa amortiguada, sin importar cómo
se mueva la rueda, habrá eliminar del sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas
(1.8) la variable x1. El objetivo sería obtener una única ecuación que
relacione la entrada u con la variable x2. Esto es difícil de hacer con las
ecuaciones diferenciales en el dominio temporal. En el capítulo 2 se muestra cómo
conseguirlo de forma sencilla gracias a la transformada de Laplace.
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